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单摆测重力加速度

用长度和时间测量重力，用残差和摆角理解模型。

改变摆长、重复计时，将周期平方与有效摆长联系起来，求出重力加速度。再从小角度近似走向非线性单摆，观察摆幅如何改变周期与测量结果。

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图 1　从摆长与计时读数到重力加速度

选择你的入口

从一组读数开始

实验记录包含 6 组摆长、每组 3 次计时，每次计时对应 20 次全振动；摆球直径另有 6 次测量。

取平均直径 $\bar d$ 和平均计时 $\bar t$，得到有效摆长与周期：

$$ L'=L+\frac{\bar d}{2},\qquad T=\frac{\bar t}{20}. $$

小角度条件下，周期平方与有效摆长呈线性关系。用含截距模型拟合：

$$ T^2=kL'+b,\qquad g=\frac{4\pi^2}{k}. $$

表 1　两种数据处理方法得到的重力加速度

两种方法对截距项和误差结构的处理不同。对照拟合曲线、残差及测量条件，可以进一步理解结果的差异。

让拟合与残差一起说话

图 2　周期平方与有效摆长的含截距线性拟合及残差；误差条表示重复计时传播得到的 A 类标准不确定度

Notebook 中可以选择重复计时、暂不纳入某组数据，观察拟合参数与残差如何响应。完整数据表、不确定度定义及结果讨论见实验报告。

把摆角放大，观察近似何时发生偏离

理想无阻尼单摆满足

$$ \ddot\theta+\frac{g}{L'}\sin\theta=0. $$

运动示例取有效摆长 $L'=1\ \mathrm m$、初始摆角 $20^\circ$、初始角速度为零，观察 10 s 内的运动；重力参数采用实验拟合值。摆角扫描从 $1^\circ$ 延伸至 $60^\circ$，比较非线性周期与小角度近似。

图 3　摆角与角速度 比较运动波形与随时间累积的相位差。	图 4　初始摆角扫描 连接周期增量与重力估计偏差。

四个交互探索

在 HTML 中直接操作已有控件；在 Jupyter 或 Wolfram 中运行全部单元，可继续修改计算参数与模型。

在本机打开

安装步骤见使用指南。在仓库根目录启动本实验的 Jupyter Notebook：

.\.venv\Scripts\python.exe -m jupyterlab experiments/course-01/pendulum/notebooks/analysis.ipynb

Wolfram 可安装本实验的独立 Paclet，再通过包入口打开 Notebook。将下面的仓库路径改为本机路径：

PacletInstall["D:/general-physics-lab/notebook/paclets/PendulumLab/dist/PendulumLab-0.1.0.paclet"];
Needs["PendulumLab`"];
PendulumLab`PLOpenNotebook[]

数据与计算实现

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