单摆虚拟实验

调节摆长与初始角度，记录周期，估计重力加速度。

时间 t = 0.00 s

图 1　理想单摆；长度按统一比例绘制，摆球作为质点显示

手动计时

摆球经过同一位置、沿同一方向运动时开始计时，数满 $N$ 个周期后停止。仿真时钟随暂停冻结。多周期计时的误差传播讨论见文献 [3]。

0.000 s

先开始摆球运动，再选择计时起点。

数据分析

图 2　摆角随时间变化；实线为非线性解，灰色虚线为小角度解

表 1　虚拟测量记录（0 组）

来源$L/\mathrm m$$\theta_0/{}^\circ$$g/(\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2})$$N$$t/\mathrm s$$T/\mathrm s$操作
改变摆长后记录至少三组数据，进行含截距拟合。

记录保存在当前浏览器；导出保留完整数值、数据来源与参数。

图 3　当前重力与初始摆角下的 $T^2$–$L$ 关系

需要至少三组、两个不同摆长的数据。

摆角与周期
图 4　有限摆角相对于小角度周期的增量

拟合采用含截距的线性模型 [4]。固定初始摆角时，周期平方仍随摆长线性变化；用小角度公式反算的 $g$ 会偏低。

与原报告观测对照

原报告包含六组摆长，每组重复计时三次、每次 20 个周期。有效摆长等于悬点到球顶的长度加平均球半径；下表保留三次计时读数，并列出周期及周期平方。

表 2　原报告观测数据的处理结果

组次有效摆长 / m$t_1/\mathrm s$$t_2/\mathrm s$$t_3/\mathrm s$$T/\mathrm s$$T^2/\mathrm s^2$

正在读取观测数据。

原始测量摆角及仪器误差限未记录，观测拟合用于对照数据处理；其残差不能单独确定阻尼或计时误差。

模型依据

摆球视为质点，摆线无质量且不可伸长，悬点固定；在均匀重力场内作平面运动。初始角速度为零，忽略阻尼与驱动力。运动方程对应文献 [2] 的零阻尼情形。

$$\ddot\theta+\frac{g}{L}\sin\theta=0,\qquad \theta(0)=\theta_0,\quad\dot\theta(0)=0.$$

周期按文献 [1] 给出的第一类完全椭圆积分关系计算。这里 $k$ 为模数，$m=k^2$ 为部分计算库采用的参数。

$$T=4\sqrt{\frac Lg}\,K(k),\qquad k=\sin\frac{\theta_0}{2},\qquad K(k)=\int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm d\phi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}}.$$
$$T_0=2\pi\sqrt{\frac Lg},\qquad T^2=aL+b,\qquad g_{\mathrm{fit}}=\frac{4\pi^2}{a}.$$

周期比较和数值验证见模型、参数与文献依据；后续模块组织见平台开发方案。数值运动采用四阶 Runge–Kutta 方法，步长不大于 $1/240\ \mathrm s$；周期采用算术几何平均算法独立计算。

本页面开放 $0.20\le L\le1.20\ \mathrm m$、$1^\circ\le\theta_0\le60^\circ$、$1\le g\le20\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ 的教学参数域。角度上限用于保持柔性摆线张紧；数值检验覆盖该域的边界与代表点。

参考文献

  1. 鞠衍清，张风雷. 基于 MATLAB 的单摆周期近似解的比较. 大学物理，2007，26(3): 6–9. DOI。
  2. 柴聪聪，凤飞龙，王公正，卫芬芬. 大摆角单摆“周期”变化的解析解及其实验应用. 物理实验，2020，40(3): 48–50. DOI。
  3. 钱钧，张春玲，王槿. 不确定度理论在单摆实验教学中的应用. 大学物理实验，2009，22(3): 78–81. DOI。
  4. 王震委，张磊，王美雅. Jupyter Notebook 在单摆测重力加速度实验中的应用. 湖北师范大学学报（自然科学版），2026，46(2): 25–30. DOI。

实验记录身份：自动计时为理想模型生成值，手动计时为交互操作结果，原报告观测为独立测量批次。