淮南师范学院实验报告¶

学院：电子工程学院　　专业：物理学　　班级：24物理1班
学号：2414050120　　姓名：缪雨轩　　日期：2025.11.13

实验名称：单摆测重力加速度

实验目的¶

1. 掌握用单摆测定当地重力加速度的原理和方法。
2. 练习使用游标卡尺、米尺和电子秒表。
3. 学习用图像法（$T^2-L'$ 图）处理数据，减小偶然误差。

实验原理¶

在摆角 $\theta<5^\circ$ 的小角度条件下，单摆近似作简谐振动，其振动周期为

$$T=2\pi\sqrt{\frac{L'}{g}}.$$

其中，$L'$ 为悬点到摆球球心的距离，$g$ 为当地重力加速度。有效摆长等于摆线长 $L$ 加上摆球半径，即

$$L'=L+\frac{d}{2}.$$

将周期公式变形可得

$$T^2=\frac{4\pi^2}{g}L',\qquad g=\frac{4\pi^2L'}{T^2}.$$

测量不同摆长对应的周期，作 $T^2-L'$ 关系图。采用含截距线性模型 $T^2=kL'+b$ 拟合，斜率 $k=4\pi^2/g$，由此得到

$$g=\frac{4\pi^2}{k}.$$

符号推导与模型假设¶

设摆球为质点、摆线无质量，忽略阻尼与驱动力。用符号运算解出 $g(k)$，并由一阶微分得到斜率标准误的传播公式： $$u_g=\left|\frac{\partial g}{\partial k}\right|u_k=\frac{4\pi^2}{k^2}u_k.$$ 这里的 $u_k$ 是回归斜率标准误；仪器误差仍需另行评定。

主要仪器设备¶

单摆装置（底座、立柱、横梁、细线）、小钢球、游标卡尺、钢卷尺（或米尺）、电子秒表。

实验步骤¶

1. 测摆球直径。 用游标卡尺在不同位置测量小球直径 $d$，重复测量 6 次，求平均值。
2. 安装单摆。 取约 1 m 长的细线，一端系住小球，另一端固定在支架上。
3. 测摆长与周期。 将摆线长度从约 50 cm 逐渐增加至 100 cm，共测 6 组。用米尺测量悬点到小球顶端的距离 $L$；使小球在小角度（小于 $5^\circ$）内摆动。经过平衡位置时开始计时，测量连续 $n=20$ 次全振动的时间。每组重复计时 3 次，求平均时间 $\bar t$，再计算 $T=\bar t/20$。
4. 改变摆长。 依次增加摆长，重复上述测量，共记录 6 组数据。

原始数据记录¶

摆球直径测量¶

表 1　摆球直径测量记录

摆长与周期测量记录表¶

注：$n=20$ 次全振动。读数保持原记录，平均时间、周期及周期平方由未修约读数计算后显示。

表 2　摆长与周期测量记录

重复计时的离散程度¶

从原始读数计算各组均值，再绘制 $t_{ij}-\bar t_i$。菜单可以选择测量组；连线只用于辨认同一组的重复读数。

图 1　重复计时的离散程度

数据处理¶

1. 逐组计算重力加速度¶

平均球直径 $\bar d=2.000\ \mathrm{cm}$，有效摆长为 $L'=L+1.000\ \mathrm{cm}$。按 $g_i=4\pi^2L'_i/T_i^2$ 逐组计算：

表 3　有效摆长与逐组重力加速度

逐组重力加速度的算术平均值为

$$\bar g=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^6g_i=9.797523\ \mathrm{m/s^2}.$$

2. 图像法（$T^2-L'$ 图）¶

以 $T^2$ 为纵坐标、有效摆长 $L'$ 为横坐标，令 $x_i=L'_i$、$y_i=T_i^2$。数据点为

表 4　线性拟合数据

含截距最小二乘拟合的斜率和截距为

$$k=\frac{\sum_i(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum_i(x_i-\bar x)^2},\qquad b=\bar y-k\bar x.$$

计算得到 $\bar x=0.7620833\ \mathrm m$，$\bar y=3.0718208\ \mathrm{s^2}$，

$$k=4.05521641\ \mathrm{s^2/m},\qquad b=-0.01859206\ \mathrm{s^2}.$$

由斜率求重力加速度：

$$g=\frac{4\pi^2}{4.05521641}=9.735218\ \mathrm{m/s^2}.$$

图 2　周期平方与有效摆长的线性拟合及残差

图中误差条表示重复计时均值经传播得到的 A 类标准不确定度。以 $9.81\ \mathrm{m/s^2}$ 作为比较值，相对差异的绝对值为

$$E=\frac{|g-9.81|}{9.81}\times100\%=0.7623\%.$$

拟合、残差与数据敏感性¶

用全部六组数据重算斜率、截距及残差。菜单可暂时移去一组观察参数变化；正式估计使用全部六组数据。图中误差条是 $u_A(T^2)$。

图 3　拟合参数与残差的敏感性分析

实验结果与讨论¶

误差分析¶

系统误差。 空气阻力、空气浮力、悬点与摆线的实际条件可能使单摆偏离理想模型。浮力会减小有效回复作用；摆球的有限尺寸与摆线连接方式也会影响模型适用性。当摆幅增大时，非线性单摆周期比小角度近似更长，用小角度公式反推 $g$ 会产生偏低的估计。实际摆角未记录，不能据此直接作数值修正。

偶然误差。 手动开始和停止计时的反应差异、摆长读数重复性会影响结果。连续计时 20 个周期并重复测量，可降低计时的相对影响。由本组重复计时估计

$$u_A(\bar t)=\frac{s_t}{\sqrt3},\qquad u_A(T)=\frac{u_A(\bar t)}{20},\qquad u_A(T^2)=2T\,u_A(T).$$

含截距拟合得到的重力回归标准误为 $0.010102\ \mathrm{m/s^2}$。这是给定回归模型下的统计量；仪器误差限、长度测量不确定度和当地比较值的标定信息尚待补充，因此不能将它作为完整的合成标准不确定度。

不确定度的数值传播¶

先计算重复计时均值的 A 类标准不确定度，再依次传播到 $T$ 与 $T^2$。保留未修约数值参与拟合。

表 5　重复计时不确定度的传播

非线性单摆的数值求解¶

小角度公式的适用性可由完整运动方程检验： $$\ddot\theta+\frac{g}{L'}\sin\theta=0,\qquad \theta(0)=\theta_0,\qquad \dot\theta(0)=0.$$ 探索初始摆角 $5^\circ$、$20^\circ$、$45^\circ$、$60^\circ$ 及不同摆长，比较非线性解与小角度解。默认情景取 $L'=1\,\mathrm m$、$\theta_0=20^\circ$、时长 $10\,\mathrm s$，重力参数使用本次拟合值。实际实验摆幅未记录，这些情景用于说明模型影响。

图 4　非线性单摆与小角度近似的比较

单摆运动与相空间¶

播放或选择时间，观察摆球位置与相图中的同一状态。取 $L'=1\,\mathrm m$、$\theta_0=20^\circ$，初始角速度为零；经过平衡位置时角速度的绝对值最大。

图 5　单摆运动与相空间

摆角扫描与重力估计偏差¶

精确周期写为 $$T_{\mathrm{exact}}=4\sqrt{\frac{L'}g}\,K\!\left(\sin^2\frac{\theta_0}{2}\right),\qquad \frac{g_{\mathrm{est}}}{g}=\left(\frac{T_0}{T_{\mathrm{exact}}}\right)^2.$$ 其中 $K(m)$ 使用参数 $m$ 的定义，$T_0$ 为小角度周期。滑块选中同一摆角，联动显示周期增量与重力估计偏差；灰带标明 $0^\circ$ 至 $5^\circ$ 的小摆角范围。

图 6　初始摆角对周期与重力估计的影响

周期与机械能校核¶

以椭圆积分周期核对常微分方程积分得到的周期，并检查无阻尼模型的机械能守恒： $$\frac{E}{m}=\frac12(L'\dot\theta)^2+gL'(1-\cos\theta).$$ 下列误差用于评估数值计算，不替代实验不确定度。

表 6　周期与机械能的数值校核

结论¶

逐组计算的平均重力加速度为 $9.797523\ \mathrm{m/s^2}$；采用含截距的 $T^2-L'$ 线性拟合，得到 $g=9.735218\ \mathrm{m/s^2}$，相对 $9.81\ \mathrm{m/s^2}$ 比较值的差异为 $0.7623\%$。两种数据处理方式受截距项和误差结构的影响不同，应结合残差、长度测量与计时条件共同判断。