淮南师范学院实验报告¶
学院：电子工程学院 专业：物理学 班级：24物理1班
学号：2414050120 姓名：缪雨轩 日期：2025.11.13
实验名称：单摆测重力加速度
实验目的¶
- 掌握用单摆测定当地重力加速度的原理和方法。
- 练习使用游标卡尺、米尺和电子秒表。
- 学习用图像法（$T^2-L'$ 图）处理数据，减小偶然误差。
实验原理¶
在摆角 $\theta<5^\circ$ 的小角度条件下，单摆近似作简谐振动，其振动周期为
$$T=2\pi\sqrt{\frac{L'}{g}}.$$
其中，$L'$ 为悬点到摆球球心的距离，$g$ 为当地重力加速度。有效摆长等于摆线长 $L$ 加上摆球半径，即
$$L'=L+\frac{d}{2}.$$
将周期公式变形可得
$$T^2=\frac{4\pi^2}{g}L',\qquad g=\frac{4\pi^2L'}{T^2}.$$
测量不同摆长对应的周期，作 $T^2-L'$ 关系图。采用含截距线性模型 $T^2=kL'+b$ 拟合，斜率 $k=4\pi^2/g$，由此得到
$$g=\frac{4\pi^2}{k}.$$
主要仪器设备¶
单摆装置（底座、立柱、横梁、细线）、小钢球、游标卡尺、钢卷尺（或米尺）、电子秒表。
实验步骤¶
- 测摆球直径。 用游标卡尺在不同位置测量小球直径 $d$，重复测量 6 次，求平均值。
- 安装单摆。 取约 1 m 长的细线，一端系住小球，另一端固定在支架上。
- 测摆长与周期。 将摆线长度从约 50 cm 逐渐增加至 100 cm，共测 6 组。用米尺测量悬点到小球顶端的距离 $L$；使小球在小角度（小于 $5^\circ$）内摆动。经过平衡位置时开始计时，测量连续 $n=20$ 次全振动的时间。每组重复计时 3 次，求平均时间 $\bar t$，再计算 $T=\bar t/20$。
- 改变摆长。 依次增加摆长，重复上述测量，共记录 6 组数据。
原始数据记录¶
摆球直径测量¶
表 1 摆球直径测量记录
| 测量次数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 平均值 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 直径 / cm | 2.002 | 1.998 | 2.000 | 2.004 | 1.996 | 2.000 | 2.000 |
摆长与周期测量记录表¶
注：$n=20$ 次全振动。读数保持原记录，平均时间、周期及周期平方由未修约读数计算后显示。
表 2 摆长与周期测量记录
| 组号 | 摆线长 $L/\mathrm{cm}$ | $t_1/\mathrm{s}$ | $t_2/\mathrm{s}$ | $t_3/\mathrm{s}$ | 平均 $\bar t/\mathrm{s}$ | 周期 $T/\mathrm{s}$ | $T^2/\mathrm{s^2}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 50.50 | 28.78 | 28.74 | 28.76 | 28.76000 | 1.438000 | 2.067844 |
| 2 | 60.20 | 31.40 | 31.38 | 31.43 | 31.40333 | 1.570167 | 2.465423 |
| 3 | 70.10 | 33.85 | 33.88 | 33.82 | 33.85000 | 1.692500 | 2.864556 |
| 4 | 80.05 | 36.16 | 36.19 | 36.14 | 36.16333 | 1.808167 | 3.269467 |
| 5 | 90.30 | 38.38 | 38.41 | 38.35 | 38.38000 | 1.919000 | 3.682561 |
| 6 | 100.10 | 40.40 | 40.43 | 40.38 | 40.40333 | 2.020167 | 4.081073 |
数据处理¶
1. 逐组计算重力加速度¶
平均球直径 $\bar d=2.000\ \mathrm{cm}$，有效摆长为 $L'=L+1.000\ \mathrm{cm}$。按 $g_i=4\pi^2L'_i/T_i^2$ 逐组计算：
表 3 有效摆长与逐组重力加速度
| 组号 | 有效摆长 $L^\prime/\mathrm{m}$ | $T^2/\mathrm{s^2}$ | $g_i/(\mathrm{m/s^2})$ |
|---|---|---|---|
| 1 | 0.5150 | 2.067844 | 9.832166 |
| 2 | 0.6120 | 2.465423 | 9.799855 |
| 3 | 0.7110 | 2.864556 | 9.798779 |
| 4 | 0.8105 | 3.269467 | 9.786690 |
| 5 | 0.9130 | 3.682561 | 9.787698 |
| 6 | 1.0110 | 4.081073 | 9.779947 |
逐组重力加速度的算术平均值为
$$\bar g=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^6g_i=9.797523\ \mathrm{m/s^2}.$$
2. 图像法（$T^2-L'$ 图）¶
以 $T^2$ 为纵坐标、有效摆长 $L'$ 为横坐标，令 $x_i=L'_i$、$y_i=T_i^2$。数据点为
表 4 线性拟合数据
| $x_i/\mathrm{m}$ | $y_i/\mathrm{s^2}$ |
|---|---|
| 0.5150 | 2.067844 |
| 0.6120 | 2.465423 |
| 0.7110 | 2.864556 |
| 0.8105 | 3.269467 |
| 0.9130 | 3.682561 |
| 1.0110 | 4.081073 |
含截距最小二乘拟合的斜率和截距为
$$k=\frac{\sum_i(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum_i(x_i-\bar x)^2},\qquad b=\bar y-k\bar x.$$
计算得到 $\bar x=0.7620833\ \mathrm m$，$\bar y=3.0718208\ \mathrm{s^2}$，
$$k=4.05521641\ \mathrm{s^2/m},\qquad b=-0.01859206\ \mathrm{s^2}.$$
由斜率求重力加速度：
$$g=\frac{4\pi^2}{4.05521641}=9.735218\ \mathrm{m/s^2}.$$
图 1 周期平方与有效摆长的线性拟合及残差
图中误差条表示重复计时均值经传播得到的 A 类标准不确定度。以 $9.81\ \mathrm{m/s^2}$ 作为比较值，相对差异的绝对值为
$$E=\frac{|g-9.81|}{9.81}\times100\%=0.7623\%.$$
实验结果与讨论¶
误差分析¶
系统误差。 空气阻力、空气浮力、悬点与摆线的实际条件可能使单摆偏离理想模型。浮力会减小有效回复作用；摆球的有限尺寸与摆线连接方式也会影响模型适用性。当摆幅增大时，非线性单摆周期比小角度近似更长，用小角度公式反推 $g$ 会产生偏低的估计。实际摆角未记录，不能据此直接作数值修正。
偶然误差。 手动开始和停止计时的反应差异、摆长读数重复性会影响结果。连续计时 20 个周期并重复测量，可降低计时的相对影响。由本组重复计时估计
$$u_A(\bar t)=\frac{s_t}{\sqrt3},\qquad u_A(T)=\frac{u_A(\bar t)}{20},\qquad u_A(T^2)=2T\,u_A(T).$$
含截距拟合得到的重力回归标准误为 $0.010102\ \mathrm{m/s^2}$。这是给定回归模型下的统计量；仪器误差限、长度测量不确定度和当地比较值的标定信息尚待补充，因此不能将它作为完整的合成标准不确定度。
结论¶
逐组计算的平均重力加速度为 $9.797523\ \mathrm{m/s^2}$；采用含截距的 $T^2-L'$ 线性拟合，得到 $g=9.735218\ \mathrm{m/s^2}$，相对 $9.81\ \mathrm{m/s^2}$ 比较值的差异为 $0.7623\%$。两种数据处理方式受截距项和误差结构的影响不同，应结合残差、长度测量与计时条件共同判断。