刚体转动惯量测定实验报告¶
淮南师范学院 电子工程学院 物理学专业
一、实验名称¶
刚体转动惯量的测定。
二、实验目的¶
学习恒力矩法测转动惯量；研究质量分布和转轴位置的影响；利用圆柱偏轴配置理解平行轴定理；学习遮光计时与角加速度计算。
三、实验原理¶
1. 恒力矩转动¶
定轴转动满足 $M=J\beta$。设平台无悬挂砝码时匀减速角加速度为 $\beta_1<0$，悬挂质量 $m$ 后角加速度为 $\beta_2>0$，塔轮半径为 $R$。联立砝码平动与刚体转动方程，在两过程摩擦力矩相同的条件下，
$$ J_1=\frac{mR(g-R\beta_2)}{\beta_2-\beta_1}. $$
加载试样后，分别用 $\beta_3$、$\beta_4$ 表示减速和加速过程，有
$$ J_2=\frac{mR(g-R\beta_4)}{\beta_4-\beta_3},\qquad J_{\mathrm{sample}}=J_2-J_1. $$
2. 遮光计时¶
每半圈一次遮光，$k$ 次信号对应角位移 $k\pi$。匀变速模型为
$$ k\pi=\omega_0t+\frac12\beta t^2. $$
两组记录消去初角速度得到
$$ \beta=\frac{2\pi(k_nt_m-k_mt_n)}{t_mt_n^2-t_m^2t_n}. $$
按第1与5、第2与6、第3与7、第4与8次配对，计算四个角加速度再取平均。
3. 几何惯量和平行轴定理¶
均匀圆环的理论惯量为
$$ J_{\mathrm{ring}}=\frac12m_{\mathrm{ring}}(R_{\mathrm{out}}^2+R_{\mathrm{in}}^2). $$
均匀实心圆柱中心轴惯量为 $J_0=mR^2/2$，平行偏轴距离 $d$ 时，
$$ J(d)=J_0+md^2. $$
四、主要仪器设备¶
ZKY-ZS刚体转动惯量实验仪、网络型转动惯量测试仪、光电门、细线、砝码及托、圆环、两个相同圆柱和金属载物盘。塔轮标称半径25 $\mathrm{mm}$；悬挂砝码质量未在现有可用记录中明确给出。
五、实验步骤¶
调底座水平，调整滑轮使细线与塔轮槽相切且减少摩擦。空载平台先不挂砝码，轻拨后记录1–8次遮光时间，再挂砝码记录加速时间。圆环同轴放置，重复减速、加速计时。两圆柱对称放置于距轴100 $\mathrm{mm}$处，再记录两过程。用对半逐差计算角加速度，代入动力学模型并与几何理论比较。
六、原始数据记录¶
现有可用材料包含几何数据、已计算的逐差角加速度及已报告总惯量，缺少遮光次数—时间原始表。角加速度只能复核已报数值的平均，动力学惯量不能从原始计时独立重算。与本实验无关的热学参数和热电势数据不进入下列记录。
表 1 试样几何与质量记录
| 物理量 | 数值 | 单位 |
|---|---|---|
| 圆环质量 | 0.436 | kg |
| 圆环外半径 | 0.12 | m |
| 圆环内半径 | 0.105 | m |
| 单柱质量 | 0.166 | kg |
| 单柱半径 | 0.015 | m |
| 偏轴距离 | 0.1 | m |
| 塔轮标称半径 | 0.025 | m |
表 2 已报逐差角加速度与复算平均（单位$\mathrm{rad\,s^{-2}}$）
| 对象 | 状态 | 逐差1 | 逐差2 | 逐差3 | 逐差4 | 复算平均 / (rad s⁻²) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 空载物台 | 匀减速 | -0.1094 | -0.0907 | -0.1292 | -0.1014 | -0.107675 |
| 空载物台 | 匀加速 | 1.7936 | 2.1754 | 2.1719 | 2.1643 | 2.0763 |
| 载物台与圆环 | 匀减速 | -0.1169 | -0.0776 | -0.0719 | -0.0725 | -0.084725 |
| 载物台与圆环 | 匀加速 | 1.163 | 1.168 | 1.1703 | 1.1695 | 1.1677 |
| 载物台与两圆柱 | 匀减速 | -0.0911 | -0.0807 | -0.0749 | -0.0757 | -0.0806 |
| 载物台与两圆柱 | 匀加速 | 1.3803 | 1.3813 | 1.3794 | 1.3722 | 1.3783 |
表 3 已报告的总转动惯量
| 项目 | 已报总惯量 / (kg m²) |
|---|---|
| 空载物台 | 0.005624 |
| 载物台与圆环 | 0.00983 |
| 载物台与两圆柱 | 0.008434 |
表2和表3是已有计算结果，保持其身份，不当作新的原始计时或独立测量。
七、数据处理¶
1. 角加速度平均¶
逐行对四个已报角加速度求平均。空载平台减速、加速均值分别为 -0.107675 和 2.0763 $\mathrm{rad\,s^{-2}}$；加载圆环为 -0.084725、1.1677 $\mathrm{rad\,s^{-2}}$；加载两柱为 -0.0806、1.3783 $\mathrm{rad\,s^{-2}}$。已报数值经过四位小数修约，均值不包含原始计时细节。
2. 已报总惯量差与几何理论¶
圆环结果由0.009830−0.005624得到；两柱结果由0.008434−0.005624得到，再除以二为单柱结果。几何理论独立采用表1数据计算。
表 4 由已报总惯量作差的结果与几何理论比较
| 对象 | 由已报总惯量相减 / (kg m²) | 几何理论 / (kg m²) | 相对差异 / % |
|---|---|---|---|
| 圆环 | 0.004206 | 0.00554265 | -24.115721 |
| 单个偏轴圆柱 | 0.001405 | 0.001678675 | -16.303037 |
圆环理论值为 0.00554265 $\mathrm{kg\,m^2}$；单柱中心轴理论值为 $1.8675\times10^{-5}$ $\mathrm{kg\,m^2}$，100 $\mathrm{mm}$偏轴附加项为 0.00166 $\mathrm{kg\,m^2}$，偏轴理论值为 0.001678675 $\mathrm{kg\,m^2}$。
3. 偏轴模型¶
固定单柱质量0.166 $\mathrm{kg}$、半径0.015 $\mathrm{m}$，按 $J(d)=J_0+md^2$ 扫描理论偏轴距离。图中的曲线为几何模型，不是不同孔位的实测扫描。
图 1 固定圆柱质量与半径时的平行轴模型
八、实验结果与讨论¶
已报总惯量作差得到圆环 0.004206 $\mathrm{kg\,m^2}$、单柱 0.001405 $\mathrm{kg\,m^2}$，相对几何理论的有符号差异为 -24.11572082 $\%$ 和 -16.30303662 $\%$。两者均偏低；原始计时和悬挂质量缺失，无法独立核实这些差异的测量来源。
加载后角加速度较小，与相同驱动力矩下惯量增大的预期方向一致。单柱的 $md^2$ 项远大于中心轴项，说明偏轴距离对惯量的重要性。只有一个偏轴位置且没有中心轴实测，尚不能定量验证 $J-J_0$ 随 $d^2$ 的关系；多孔位重复测量是进一步验证所必需的。
摩擦力矩可能随转速和载荷改变，使减速和加速过程不能完全消去摩擦。细线厚度、重叠和打滑改变塔轮有效半径，滑轮摩擦、砝码摆动及线弹性也影响角加速度。圆环偏心和两柱孔位不对称改变实际惯量；触发误差与初始扰动影响逐差。完整复算应补充原始计时、砝码质量、有效力臂及仪器精度，而不从已报惯量倒推缺失参数再作为测量值。