刚体转动惯量测定实验报告¶

淮南师范学院　电子工程学院　物理学专业

一、实验名称¶

刚体转动惯量的测定。

二、实验目的¶

学习恒力矩法测转动惯量；研究质量分布和转轴位置的影响；利用圆柱偏轴配置理解平行轴定理；学习遮光计时与角加速度计算。

三、实验原理¶

1. 恒力矩转动¶

定轴转动满足 $M=J\beta$。设平台无悬挂砝码时匀减速角加速度为 $\beta_1<0$，悬挂质量 $m$ 后角加速度为 $\beta_2>0$，塔轮半径为 $R$。联立砝码平动与刚体转动方程，在两过程摩擦力矩相同的条件下，

$$ J_1=\frac{mR(g-R\beta_2)}{\beta_2-\beta_1}. $$

加载试样后，分别用 $\beta_3$、$\beta_4$ 表示减速和加速过程，有

$$ J_2=\frac{mR(g-R\beta_4)}{\beta_4-\beta_3},\qquad J_{\mathrm{sample}}=J_2-J_1. $$

2. 遮光计时¶

每半圈一次遮光，$k$ 次信号对应角位移 $k\pi$。匀变速模型为

$$ k\pi=\omega_0t+\frac12\beta t^2. $$

两组记录消去初角速度得到

$$ \beta=\frac{2\pi(k_nt_m-k_mt_n)}{t_mt_n^2-t_m^2t_n}. $$

按第1与5、第2与6、第3与7、第4与8次配对，计算四个角加速度再取平均。

3. 几何惯量和平行轴定理¶

均匀圆环的理论惯量为

$$ J_{\mathrm{ring}}=\frac12m_{\mathrm{ring}}(R_{\mathrm{out}}^2+R_{\mathrm{in}}^2). $$

均匀实心圆柱中心轴惯量为 $J_0=mR^2/2$，平行偏轴距离 $d$ 时，

$$ J(d)=J_0+md^2. $$

四、主要仪器设备¶

ZKY-ZS刚体转动惯量实验仪、网络型转动惯量测试仪、光电门、细线、砝码及托、圆环、两个相同圆柱和金属载物盘。塔轮标称半径25 $\mathrm{mm}$；悬挂砝码质量未在现有可用记录中明确给出。

五、实验步骤¶

调底座水平，调整滑轮使细线与塔轮槽相切且减少摩擦。空载平台先不挂砝码，轻拨后记录1–8次遮光时间，再挂砝码记录加速时间。圆环同轴放置，重复减速、加速计时。两圆柱对称放置于距轴100 $\mathrm{mm}$处，再记录两过程。用对半逐差计算角加速度，代入动力学模型并与几何理论比较。

六、原始数据记录¶

现有可用材料包含几何数据、已计算的逐差角加速度及已报告总惯量，缺少遮光次数—时间原始表。角加速度只能复核已报数值的平均，动力学惯量不能从原始计时独立重算。与本实验无关的热学参数和热电势数据不进入下列记录。

表 1　试样几何与质量记录

物理量	数值	单位
圆环质量	0.436	kg
圆环外半径	0.12	m
圆环内半径	0.105	m
单柱质量	0.166	kg
单柱半径	0.015	m
偏轴距离	0.1	m
塔轮标称半径	0.025	m

表 2　已报逐差角加速度与复算平均（单位$\mathrm{rad\,s^{-2}}$）

对象	状态	逐差1	逐差2	逐差3	逐差4	复算平均 / (rad s⁻²)
空载物台	匀减速	-0.1094	-0.0907	-0.1292	-0.1014	-0.107675
空载物台	匀加速	1.7936	2.1754	2.1719	2.1643	2.0763
载物台与圆环	匀减速	-0.1169	-0.0776	-0.0719	-0.0725	-0.084725
载物台与圆环	匀加速	1.163	1.168	1.1703	1.1695	1.1677
载物台与两圆柱	匀减速	-0.0911	-0.0807	-0.0749	-0.0757	-0.0806
载物台与两圆柱	匀加速	1.3803	1.3813	1.3794	1.3722	1.3783

表 3　已报告的总转动惯量

项目	已报总惯量 / (kg m²)
空载物台	0.005624
载物台与圆环	0.00983
载物台与两圆柱	0.008434

表2和表3是已有计算结果，保持其身份，不当作新的原始计时或独立测量。

七、数据处理¶

1. 角加速度平均¶

逐行对四个已报角加速度求平均。空载平台减速、加速均值分别为 -0.107675 和 2.0763 $\mathrm{rad\,s^{-2}}$；加载圆环为 -0.084725、1.1677 $\mathrm{rad\,s^{-2}}$；加载两柱为 -0.0806、1.3783 $\mathrm{rad\,s^{-2}}$。已报数值经过四位小数修约，均值不包含原始计时细节。

2. 已报总惯量差与几何理论¶

圆环结果由0.009830−0.005624得到；两柱结果由0.008434−0.005624得到，再除以二为单柱结果。几何理论独立采用表1数据计算。

表 4　由已报总惯量作差的结果与几何理论比较

对象	由已报总惯量相减 / (kg m²)	几何理论 / (kg m²)	相对差异 / %
圆环	0.004206	0.00554265	-24.115721
单个偏轴圆柱	0.001405	0.001678675	-16.303037

圆环理论值为 0.00554265 $\mathrm{kg\,m^2}$；单柱中心轴理论值为 $1.8675\times10^{-5}$ $\mathrm{kg\,m^2}$，100 $\mathrm{mm}$偏轴附加项为 0.00166 $\mathrm{kg\,m^2}$，偏轴理论值为 0.001678675 $\mathrm{kg\,m^2}$。

3. 偏轴模型¶

固定单柱质量0.166 $\mathrm{kg}$、半径0.015 $\mathrm{m}$，按 $J(d)=J_0+md^2$ 扫描理论偏轴距离。图中的曲线为几何模型，不是不同孔位的实测扫描。

图 1　固定圆柱质量与半径时的平行轴模型

可复算量与已报量¶

重新平均已报 $\beta$，计算几何理论和已报总惯量之差。未运行缺失的原始计时计算。

八、实验结果与讨论¶

已报总惯量作差得到圆环 0.004206 $\mathrm{kg\,m^2}$、单柱 0.001405 $\mathrm{kg\,m^2}$，相对几何理论的有符号差异为 -24.11572082 $\%$ 和 -16.30303662 $\%$。两者均偏低；原始计时和悬挂质量缺失，无法独立核实这些差异的测量来源。

加载后角加速度较小，与相同驱动力矩下惯量增大的预期方向一致。单柱的 $md^2$ 项远大于中心轴项，说明偏轴距离对惯量的重要性。只有一个偏轴位置且没有中心轴实测，尚不能定量验证 $J-J_0$ 随 $d^2$ 的关系；多孔位重复测量是进一步验证所必需的。

摩擦力矩可能随转速和载荷改变，使减速和加速过程不能完全消去摩擦。细线厚度、重叠和打滑改变塔轮有效半径，滑轮摩擦、砝码摆动及线弹性也影响角加速度。圆环偏心和两柱孔位不对称改变实际惯量；触发误差与初始扰动影响逐差。完整复算应补充原始计时、砝码质量、有效力臂及仪器精度，而不从已报惯量倒推缺失参数再作为测量值。

平行轴模型扫描¶

固定单柱质量0.166 $\mathrm{kg}$和半径0.015 $\mathrm{m}$，扫描理论 $d=0$ 至 $0.15$ $\mathrm{m}$，步长0.001 $\mathrm{m}$，默认源孔位0.100 $\mathrm{m}$。零偏轴回到中心轴惯量，扫描不表示已实际测量各孔位。

图 2　圆柱偏轴距离的理论敏感性