波尔共振虚拟实验
释放摆轮，测包络衰减；调驱动频率，观察瞬态到稳态及共振相位。
动画按10倍时间播放。稳态按钮推进至8/β秒，残余自由振幅包络缩至e⁻⁸；读数卡为完整模型输出，稳态幅相是独立谐波量。
图 1 小角扭振；针角放大10倍便于观察，数值为实际摆角
读数、衰减与幅相曲线
表 1 虚拟读数（ 条）
| 测量 | 来源 | 时间 / s | 频率比 | 幅度 / ° | 相位 / ° | 操作 |
|---|
原报告大角观测
表 2 原报告受迫振动
| 驱动周期 / s | 幅度 / ° | 相位 / ° | 所列参考周期 / s |
|---|
自由周期表12点、衰减10点与受迫10点完整保存在观测JSON。所列参考周期属于源参数；三点受迫幅度超出自由周期表幅度范围，不能按普通内插核验。这里不以小角模型倒填原始读数。
模型依据与适用范围
$$\ddot\theta+2\beta\dot\theta+\omega_0^2\theta=a_0\cos\omega t,\quad A=\frac{a_0}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2}},\quad\varphi=\operatorname{atan2}(-2\beta\omega,\omega_0^2-\omega^2).$$
$$\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2},\quad A_n=\theta_0e^{-\beta (2\pi n/\omega_d)},\quad\omega_r/\omega_0=\sqrt{1-2(\beta/\omega_0)^2}.$$
线性扭转回复、黏滞阻尼和给定正弦力矩，初始速度为零。页面求完整瞬态解析解；稳态公式不能代替尚未衰减的自由项。Python以独立ODE、耗散/输入功积分、峰事件和复数方程验证。详见模型、参数和验证依据。
参考文献
朱华泽，《用波尔共振仪研究受迫振动特性》，大学物理实验2011,24(3):57–60，p57–58式1–7为线性方程与幅相关系。本页φ为负的滞后角，使用atan2连续处理象限。DOI 10.14139/j.cnki.cn22-1228.2011.03.018。