波尔共振实验¶

实验名称¶

波尔共振实验

实验目的¶

1. 观察弹性摆轮的自由振荡、阻尼振荡和受迫振荡现象。

2. 测定阻尼档2时系统的阻尼系数，并用最小二乘法进行不确定度评定。

3. 测量受迫振动的幅频特性和相频特性，分析共振峰和相位变化规律。

实验原理¶

（一）运动方程¶

摆轮在回复力矩、阻尼力矩和周期性强迫力矩共同作用下的运动方程为：

$$J\frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}+b\frac{d\theta }{dt}+k\theta =M_{0}\cos\omega t$$

式中 $J$ 为摆轮转动惯量，$b$ 为阻尼系数，$k$ 为弹性力矩系数，$M_{0}$和$\omega$分别为强迫力矩的幅值和圆频率。令：

$$\omega _{0}=\sqrt{\frac{k}{J}},\quad\quad 2\beta =\frac{b}{J}$$

（二）自由振荡与阻尼振荡¶

无强迫力矩时，系统作衰减振动，角振幅包络随时间按指数规律减小：

$$\theta \left( t \right)=\theta _{0}e^{-\beta t}\cos\left( \omega _{f}t+\alpha \right),\quad\quad \omega _{f}=\sqrt{\omega _{0}^{2}-\beta ^{2}}$$

相隔 $n$ 个周期取两次振幅，可由振幅衰减求阻尼系数：

$$\beta =\frac{1}{nT}\ln\frac{\theta _{i}}{\theta _{i+n}}$$

（三）受迫振动的幅频与相频特性¶

达到稳定状态后，摆轮与强迫力矩同频振动，其稳态角振幅为：

$$\theta \left( \omega \right)=\frac{m}{\sqrt{\left( \omega _{0}^{2}-\omega ^{2} \right)^{2}+4\beta ^{2}\omega ^{2}}}$$

其中 $m=M_0/J$ 为单位转动惯量的驱动力矩幅值；此符号不表示质量。

相位差计算采用四象限反正切，保证相位在 $0^\circ$ 至 $-180^\circ$ 范围内连续变化：

$$\varphi =\operatorname{atan2}\!\left\lbrack -\beta T_{0}^{2}T\text{,\:}\pi \left( T^{2}-T_{0}^{2} \right) \right\rbrack$$

由于$\omega =2\pi /T$、$\omega _{0}=2\pi /T_{0}$，实验作图的横坐标可写为：

$$\frac{\omega }{\omega _{0}}=\frac{T_{0}}{T}$$

振幅达到极大值时的共振圆频率满足：

$$\omega _{r}=\sqrt{\omega _{0}^{2}-2\beta ^{2}}$$

因此存在阻尼时，共振峰对应的$\omega /\omega _{0}$略小于1。

主要仪器设备¶

DH0306型波尔共振实验仪，包括弹性摆轮、蜗卷弹簧、光电门、光电编码器、步进电机、偏心轮连杆机构及电磁阻尼线圈。

实验步骤¶

1. 自由振荡：阻尼档0，将摆轮转至约160°后释放，记录50°---160°范围内的$\theta$和$T_{0}$。

2. 阻尼振荡：阻尼档2，将摆轮转至约150°后释放，记录连续10次振幅及周期。

3. 强迫振荡：阻尼档2，逐点改变电机周期；待振幅和相位稳定后记录并作幅频、相频曲线。

原始数据记录¶

（一）自由振荡：振幅$\theta$与固有周期$T_{0}$的关系（阻尼档0）¶

表 1　阻尼档0的幅度与周期

$\theta$ / °	$T_0$ / s	$\theta$ / °	$T_0$ / s	$\theta$ / °	$T_0$ / s
160.5	1.6287	150.5	1.6291	140.5	1.6292
130.5	1.6297	119.5	1.6294	110.5	1.6291
100.5	1.6286	90.5	1.628	80.5	1.6274
70.5	1.6266	60.5	1.6259	50.5	1.6252

（二）阻尼振荡数据（阻尼档2）¶

表 2　阻尼档2的振幅衰减记录

$i$	$\theta_i$ / °	$T_i$ / s	$i+5$	$\theta_{i+5}$ / °	$T_{i+5}$ / s	$\ln(\theta_i/\theta_{i+5})$
1	141	1.6289	6	88.5	1.6265	0.46575734
2	128.5	1.6288	7	80.5	1.6259	0.46767172
3	117.5	1.6283	8	73.5	1.6252	0.46915293
4	106.5	1.6277	9	67	1.6246	0.46345237
5	97	1.6271	10	61	1.6239	0.46383711

说明：角度换算为弧度后进行 $\ln\theta$ 与 $t$ 的线性拟合；取第一组记录时刻为 $t=0$。

（三）受迫振动幅频与相频特性数据（阻尼档2）¶

表 3　受迫振动记录与重算模型量

受迫周期 / s	幅度 / °	指定参考周期 / s	实测相位 / °	重算理论相位 / °	$\omega/\omega_0$
1.71	44.6	1.6249	-18.9	-16.174684	0.95023392
1.69	58	1.6258	-22.7	-20.936197	0.96201183
1.67	101	1.6286	-23.4	-30.598136	0.97520958
1.65	141.9	1.6292	-64.2	-49.49563	0.98739394
1.63	132.1	1.6297	-101.2	-89.290154	0.99981595
1.61	100.4	1.6286	-128.1	-127.72978	1.0115528
1.59	80.3	1.6274	-143.4	-147.46087	1.023522
1.57	60.9	1.626	-156.9	-157.0793	1.0356688
1.55	46.9	1.625	-165.7	-162.60025	1.0483871
1.53	34.6	1.6238	-171.1	-166.0377	1.0613072

注：$T_0$ 按原记录所列参考周期作为模型参数；其中三点幅度超出自由表范围，不能由普通内插核验。$\varphi$实取仪器两次稳定读数的平均值。

数据处理¶

（一）逐差法计算阻尼系数¶

按前后相隔五个周期的五组振幅比，取对数均值除以 $5\bar T$，得到 $\beta_{\mathrm{pair}}=0.057291099\,\mathrm{s}^{-1}$。该参数是包络指数中的衰减率，量纲为逆秒。

（二）最小二乘法计算阻尼系数¶

首个振幅记录记为 $t=0$，随后记录时刻按前一记录的周期逐个累计；角幅度先转弧度，再拟合 $\ln(\theta/\mathrm{rad})=a-\beta t$。得到 $a=0.90113286$、$\beta=0.057277281\,\mathrm{s}^{-1}$，残差标准误 $0.000112647\,\mathrm{s}^{-1}$，$R^2=0.99996906$。该标准误未包含周期、编码器及幅度标尺系统误差。

（三）图像与规律分析¶

图 1　阻尼档0的自由振荡周期与幅度

图 2　阻尼档2的对数振幅衰减拟合及残差

图 3　已测受迫振动幅频响应

图 4　已测受迫振动相频响应

图 5　指定逐点参考周期下的理论相频响应

理论相位用四象限 $\operatorname{atan2}(-2\beta\omega,\omega_0^2-\omega^2)$ 求取，以度展示。实验与模型相位均方根差为 $6.87248^\circ$。逐点 $T_0$ 为所列模型参数，不作为额外独立测量；自由表外三点无法按普通内插确认这些参数。

衰减率及相位重算¶

以真实累计周期建立衰减时间轴，独立重算对数、拟合和四象限相位，区分指定参考周期与独立观测。

实验结果与讨论¶

（一）阻尼系数¶

阻尼档2的包络指数衰减率约 $0.05728\,\mathrm{s}^{-1}$，与同组逐差处理接近。对数拟合支持指数衰减作为该数据的近似，但两种方法并不独立。

（二）幅频特性¶

已测幅度最大值 $141.9^\circ$ 位于频率比 $0.9873939$。用自由表平均周期及拟合衰减率计算的线性定参数理论峰频比为 $0.9997797$，与已测最大点有差别，不能仅以“有阻尼峰小于1”认定已定量验证。共振附近周期步长 $0.020\,\mathrm s$ 较粗，且周期随幅度变化，会限制峰值定位及定参数模型。

（三）相频特性¶

实测相位从约 $-19^\circ$ 降至 $-171^\circ$，共振区域变化明显；模型呈相同总体趋势，局部差别仍需等待稳态、相位判定与参考周期信息解释。

（四）误差分析¶

蜗卷弹簧幅度依赖、尚未稳定的过渡过程、编码器与光电门对准、参考周期的内插或外推、频率测点稀疏均可能影响结果。没有单次相位原始记录和完整仪器分量，不伪造重复值或合成完整不确定度。

（五）结论¶

所列振幅包络近似指数衰减，受迫幅频曲线出现峰值，相位跨过约 $-90^\circ$；弱阻尼线性模型提供趋势解释，但峰位与定参数理论仍存在差别。衰减率以 $\mathrm{s}^{-1}$ 报告。

阻尼对稳态幅频与相频的影响¶

固定自由表平均周期，令 $q=\omega/\omega_0$，绘制 $H(q)=[(1-q^2)^2+(2\beta q/\omega_0)^2]^{-1/2}$，以静态位移归一化；相位用四象限反正切。衰减率相对实测拟合值比例从 $0.5$ 至 $2$，步长 $0.1$，默认 $1$。归一化模型不提供未测驱动力矩。

图 6　衰减率变化对理想受迫振动归一化幅频与相频的影响