牛顿环实验¶

实验名称¶

实验七　牛顿环实验。

实验目的¶

1. 观察等厚干涉形成的牛顿环和劈尖条纹。
2. 用牛顿环测定平凸透镜的曲率半径。
3. 用劈尖干涉测量细丝直径或微小厚度。

实验原理¶

平凸透镜与平板玻璃之间形成厚度随半径变化的空气薄膜。反射光中，一束光发生半波损失，因而暗纹条件为

$$ 2t=m\lambda. $$

设透镜曲率半径为 $R$，距接触中心的距离为 $r$。在 $r\ll R$ 的近轴条件下，$t\approx r^2/(2R)$，第 $m$ 级暗环的直径 $D_m=2r_m$ 满足

$$ D_m^2=4mR\lambda. $$

为减弱中心接触不理想和零级位置难判定的影响，采用隔级差法：

$$ R=\frac{D_{m+p}^2-D_m^2}{4p\lambda}. $$

若存在固定的中心间隙，或所定级数存在固定偏移，可将关系写成 $D_m^2=am+b$。截距 $b$ 不强制为零，斜率给出 $R=a/(4\lambda)$；隔级差同样消去固定截距。截距单独不足以区分接触间隙、定级偏移和读数误差。

劈尖空气膜的等厚条纹近似等间距。长度 $l_N$ 对应 $N$ 个条纹间隔，劈尖长度为 $L$，端部厚度（细丝直径）为

$$ h=\frac{N\lambda L}{2l_N}. $$

以上公式按空气折射率近似为 $1$、单色光和小角度使用。重复测量的均值 A 类标准不确定度为

$$ u_A(\bar h)=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(h_i-\bar h)^2}{n(n-1)}}. $$

主要仪器设备¶

牛顿环仪、劈尖装置、钠灯、读数显微镜（附 $45^\circ$ 反光玻璃片）。钠黄光波长取 $\lambda=589.3\,\mathrm{nm}=0.0005893\,\mathrm{mm}$。

实验步骤¶

1. 调节读数显微镜，使叉丝和牛顿环条纹清晰，且移动方向通过环心。
2. 从一侧依次读取选定暗环位置，再越过中心读取另一侧对应暗环位置，由两侧读数之差求暗环直径。读数时保持单向推进，减小回程误差。
3. 选取相隔 $p=10$ 级的数据计算曲率半径。
4. 换上劈尖装置，使条纹与显微镜移动方向垂直。
5. 计数 $N=20$ 个条纹间隔所对应的长度 $l_N$，测量劈尖长度 $L$，重复 $5$ 次。条纹计数须采用一致的端点约定。
6. 不得用力压紧牛顿环装置，以免玻璃发生弹性形变。

原始数据记录¶

本实验用读数显微镜测量牛顿环暗环直径，并用劈尖干涉法测量细丝直径。每一级暗环只记录一次左右位置；劈尖长度记录为 $50.0\,\mathrm{mm}$。

表 1　牛顿环暗环直径测量记录

暗环级数 $m$	左读数 / mm	右读数 / mm	$D_m$ / mm
5	23.466	26.531	3.065
10	22.818	27.183	4.365
15	22.334	27.667	5.333
20	21.915	28.084	6.169
25	21.56	28.439	6.879
30	21.225	28.778	7.553

表 2　劈尖干涉测量记录

次数	条纹间隔数 $N$	$l_N$ / mm	$L$ / mm
1	20	14.75	50
2	20	14.82	50
3	20	14.78	50
4	20	14.8	50
5	20	14.77	50

读取并核对观测表¶

直径由同一级左右位置相减得到，计算只使用六组暗环和五组劈尖观测；计算结果不作为观测再次输入。

数据处理¶

牛顿环隔级差¶

按 $D_m=x_{\mathrm{right}}-x_{\mathrm{left}}$ 重新计算直径；取 $p=10$，将波长统一为毫米后代入隔级差公式。

表 3　平凸透镜曲率半径计算

$m$	$m+p$	$D_m$ / mm	$D_{m+p}$ / mm	$R$ / mm
5	15	3.065	5.333	808.021
10	20	4.365	6.169	806.183
15	25	5.333	6.879	800.94
20	30	6.169	7.553	805.67

四组隔级差估计的算术平均值为

$$ \bar R=805.203\,\mathrm{mm}\approx0.805\,\mathrm m. $$

四组结果的样本标准差为 $3.016\,\mathrm{mm}$，表示不同隔级组合的离散程度。部分组合共享暗环读数，四个估计彼此相关，不能将标准差除以 $\sqrt4$ 直接解释为独立测量均值的不确定度。

全部暗环的线性拟合¶

使用全部六组数据，以 $m$ 为自变量、$D_m^2$ 为因变量，作带截距的等权最小二乘拟合：

$$ D_m^2=am+b, \qquad a=1.901062\,\mathrm{mm}^2, \qquad b=-0.049692\,\mathrm{mm}^2. $$

表 4　暗环直径平方拟合与残差

$m$	$D_m^2$ / mm$^2$	拟合值 / mm$^2$	残差 / mm$^2$
5	9.394225	9.455617	-0.061392
10	19.053225	18.960927	0.092298
15	28.440889	28.466237	-0.025348
20	38.056561	37.971547	0.085014
25	47.320641	47.476856	-0.156215
30	57.047809	56.982166	0.065643

图 1　暗环直径平方与级数的拟合及残差

由斜率得到

$$ R_{\mathrm{fit}}=\frac{a}{4\lambda}=806.492\,\mathrm{mm}. $$

线性拟合的决定系数为 $0.999969$，斜率所对应的曲率半径标准误差为 $2.242\,\mathrm{mm}$。这里的标准误差仅由六组残差估计，依赖等权、独立且同方差残差假设，未包含显微镜校准、波长和模型误差，不能替代完整的合成不确定度。拟合结果与隔级差均值相差约 $1.29\,\mathrm{mm}$，两者均使用同一批暗环读数。

劈尖细丝直径¶

由五次 $l_N$ 及相应 $N,L$ 分别计算 $h_i$。

表 5　劈尖法细丝直径计算

次数	$l_N$ / mm	$h$ / mm
1	14.75	0.01997627
2	14.82	0.01988192
3	14.78	0.01993572
4	14.8	0.01990878
5	14.77	0.01994922

图 2　劈尖法细丝直径的重复测量

平均值及其重复性分量为

$$ \bar h=0.01993038\,\mathrm{mm}=19.93038\,\mu\mathrm m, \qquad u_A(\bar h)=0.01629\,\mu\mathrm m. $$

按测量信息展示细丝直径为 $19.9\,\mu\mathrm m$。该 A 类分量只反映重复读数的离散；没有记录显微镜及劈尖长度的仪器误差，不能合成完整不确定度。$N$ 按记录对应的 $20$ 个条纹间隔使用，原始记录未另附端点计数说明。

隔级差与拟合的独立计算¶

分别计算隔级差和全数据拟合，比较两种估计。四组隔级值共享部分直径，展示离散程度时保留相关性限制。

环级选点敏感性¶

滑块默认采用全部六组。逐一暂排除一个环级，重新作带截距拟合，观察曲率半径变化。该探索用于定位单点影响，正式估计使用全部六组。

图 3　环级选择对曲率半径拟合的影响

劈尖重复性计算¶

五次细丝直径的均值及 A 类分量直接由重复观测计算。该分量不包含未记录的仪器和波长误差。

实验结果与讨论¶

由牛顿环隔级差得到平凸透镜曲率半径约 $R=0.805\,\mathrm m$；全数据带截距拟合给出 $R_{\mathrm{fit}}=0.80649\,\mathrm m$。劈尖条纹计算得到细丝直径约 $h=19.9\,\mu\mathrm m$。这些结果由记录中的长度和指定波长直接算得；由于缺少样品标称值，不能据此给出准确度或相对误差。

牛顿环的低级暗环中心位置较难判定，高级环亮度逐渐减弱。相隔 $10$ 级的直径平方差可消去固定的截距，但不能消除每次定位误差、跨级变化的形变或显微镜标尺误差。残差有正有负，只有六个点，不足以确认更复杂的系统变化。选点敏感性用于观察单个环级对拟合的影响；正式结果使用全部六组记录。

劈尖误差主要来自条纹长度读数、条纹间隔计数、劈尖长度和细丝未严格垂直于劈尖边缘。计数差一个间隔会引入约 $1/20=5\%$ 的比例变化，远大于本组重复读数的离散，应首先保证计数定义一致。还应避免过度压紧牛顿环装置，以免透镜或玻璃片发生弹性形变。

中心间隙与理论干涉环形¶

使用拟合曲率半径、$\lambda=589.3\,\mathrm{nm}$，在横纵各 $-4$ 至 $4\,\mathrm{mm}$ 的区域展示理想反射强度。设 $t=t_0+(x^2+y^2)/(2R)$，$I/I_{\max}=[1-\cos(4\pi t/\lambda)]/2$。两束等振幅，忽略光源谱宽、吸收、像差和形变；$t_0/\lambda$ 从 $0$ 至 $0.5$，步长 $0.05$，默认 $0$。这是模型扫描，间隙并非实测。

图 4　中心间隙对理想牛顿环反射强度的影响