电阻伏安特性的测定¶
淮南师范学院实验报告
学院：电子工程学院 专业：物理学 班级：24 物理 1 班
姓名：缪雨轩 学号：2414050120 实验日期：2025 年 10 月 22 日
一、实验名称¶
电阻伏安特性的测定。
二、实验目的¶
- 学会用伏安法测量电阻。
- 学会选择电流表内接法和外接法，减小仪表加载引入的系统误差。
- 绘制电阻和二极管的伏安特性曲线，比较线性元件与非线性元件。
三、实验原理¶
1. 伏安法测量线性电阻¶
欧姆定律给出 $R_x=U_x/I_x$。温度等条件保持不变的线性电阻，其电压与电流近似成正比。
2. 电流表接法与加载误差¶
令电流表内阻为 $R_A$，电压表内阻为 $R_V$。
图 1 内接法和外接法的仪表跨接关系（A 为电流表，V 为电压表）
内接法中，电压表测量待测电阻与电流表的总电压，电流表测量待测电阻的电流：
$$ U_V=U_x+U_A,\qquad I_A=I_x,\qquad R_{\mathrm{in}}=\frac{U_V}{I_A}=R_x+R_A. $$
测得电阻偏大，当 $R_x\gg R_A$ 时相对影响较小。
外接法中，电压表直接跨接待测电阻，电流表读数包含电压表分流：
$$ U_V=U_x,\qquad I_A=I_x+I_V,\qquad R_{\mathrm{out}}=\frac{U_V}{I_A}=\frac{R_xR_V}{R_x+R_V}. $$
测得电阻偏小，当 $R_x\ll R_V$ 时相对影响较小。相对误差绝对值分别为
$$ \varepsilon_{\mathrm{in}}=\frac{R_A}{R_x},\qquad\varepsilon_{\mathrm{out}}=\frac{R_x}{R_x+R_V}. $$
比较二者可得准确分界
$$ R_x^*=\frac{\sqrt{R_A^2+4R_AR_V}+R_A}{2}. $$
当 $R_A\ll R_V$ 时，近似为 $R_x^*\approx\sqrt{R_AR_V}$。通常大于分界值宜内接，小于分界值宜外接。实际仪表内阻未提供，本实验以接法比较为主，不进行数值内阻修正。
3. 二极管非线性伏安特性¶
二极管的静态比值 $U/I$ 随工作点变化，其 $I$–$U$ 曲线通常为非线性。在有限正向电压区间，可用 $\ln[I/(1\,\mathrm{mA})]=aU+b$ 描述指数增长趋势；此处为经验局部拟合，不由其推定温度、理想因子或反向电流。
四、主要仪器设备¶
FB321 电阻元件特性实验仪一台，配套测试元件及专用连接线。
五、实验步骤¶
1. 分压伏安法测电阻¶
- 用滑动变阻器分压接法，使电压从零开始调节。
- 分别用内接法和外接法测量 $R_1$，逐点调节电压，记录 7 组电压和电流。
- 更换为 $R_2$，重复两种接法的记录。
2. 测量二极管正向特性¶
- 将二极管正向接入分压电路，缓慢增加电压。
- 记录 7 组电压与电流，在电流快速增长区更细致调节。
- 为保护元件，本次未测量反向特性。
六、原始数据记录¶
表 1 伏安法测电阻原始记录
| 接法 | 元件 | 物理量 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 量程 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 内接法 | R1 | $U/\mathrm{V}$ | 0.02 | 0.03 | 0.04 | 0.05 | 0.06 | 0.07 | 0.08 | 2 V |
| $I/\mathrm{mA}$ | 1.072 | 1.58 | 2.104 | 2.629 | 3.155 | 3.674 | 4.209 | 20 mA | ||
| 内接法 | R2 | $U/\mathrm{V}$ | 0.02 | 0.03 | 0.04 | 0.05 | 0.06 | 0.07 | 0.08 | 2 V |
| $I/\mathrm{mA}$ | 0.001 | 0.002 | 0.003 | 0.004 | 0.006 | 0.007 | 0.008 | 2 mA | ||
| 外接法 | R1 | $U/\mathrm{V}$ | 0.02 | 0.03 | 0.04 | 0.05 | 0.06 | 0.07 | 0.08 | 2 V |
| $I/\mathrm{mA}$ | 2.198 | 3.297 | 4.381 | 5.474 | 6.572 | 7.666 | 8.735 | 20 mA | ||
| 外接法 | R2 | $U/\mathrm{V}$ | 0.02 | 0.03 | 0.04 | 0.05 | 0.06 | 0.07 | 0.08 | 2 V |
| $I/\mathrm{mA}$ | 0.001 | 0.002 | 0.003 | 0.004 | 0.005 | 0.007 | 0.008 | 2 mA |
表 2 二极管伏安特性原始记录
| 物理量 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 量程 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $U/\mathrm{V}$ | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.55 | 0.6 | 0.65 | 2 V |
| $I/\mathrm{mA}$ | 0.0001 | 0.0003 | 0.0032 | 0.0444 | 0.2083 | 0.9173 | 4.511 | 2 mA（最高点超出，待核） |
| 反向特性 | 未测 | 未测 | 未测 | 未测 | 未测 | 未测 | 未测 | — |
二极管 $0.65\,\mathrm{V}$ 对应 $4.511\,\mathrm{mA}$，超过表内记载的 $2\,\mathrm{mA}$ 量程。该原始值予以保留，量程或读数有效性需核验，未用于后面的半对数拟合。
七、数据处理¶
1. 逐点电阻与均值¶
电流统一换算为安培，逐点计算并求平均：
$$ R_i=\frac{U_i}{I_i},\qquad\overline R=\frac{1}{7}\sum_{i=1}^{7}R_i. $$
表 3 两种接法的逐点电阻及均值
| 接法 | 元件 | $R_1/\Omega$ | $R_2/\Omega$ | $R_3/\Omega$ | $R_4/\Omega$ | $R_5/\Omega$ | $R_6/\Omega$ | $R_7/\Omega$ | 均值 / Ω |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 内接法 | R1 | 18.657 | 18.987 | 19.011 | 19.019 | 19.017 | 19.053 | 19.007 | 18.964 |
| 内接法 | R2 | 20000 | 15000 | 13333.333 | 12500 | 10000 | 10000 | 10000 | 12976.19 |
| 外接法 | R1 | 9.099 | 9.099 | 9.13 | 9.134 | 9.13 | 9.131 | 9.159 | 9.126 |
| 外接法 | R2 | 20000 | 15000 | 13333.333 | 12500 | 12000 | 10000 | 10000 | 13261.905 |
2. 电压–电流直线拟合¶
对 $U=aI+b$ 做最小二乘拟合，并与强制过原点的结果比较：
$$ R_0=\frac{\sum I_iU_i}{\sum I_i^2}. $$
含截距拟合的斜率 $a$ 为该拟合模型的电阻估计；截距用于检查零点偏移或低电流量化的影响，不把非零截距直接解释为某个仪表内阻。
表 4 均值、过原点拟合与含截距拟合结果
| 接法 | 元件 | 均值 / Ω | 过原点拟合 / Ω | 含截距斜率 / Ω | 截距 / V | $r^2$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 内接法 | R1 | 18.964 | 19.014 | 19.112 | -0.0003 | 0.99997 |
| 内接法 | R2 | 12976.19 | 10558.659 | 8150.685 | 0.013904 | 0.989726 |
| 外接法 | R1 | 9.126 | 9.138 | 9.168 | -0.000193 | 0.99999 |
| 外接法 | R2 | 13261.905 | 10892.857 | 8369.565 | 0.01413 | 0.986413 |
图 2 $R_1$ 内接法的电压–电流拟合与残差
图 3 $R_1$ 外接法的电压–电流拟合与残差
图 4 $R_2$ 内接法的电压–电流拟合与残差
图 5 $R_2$ 外接法的电压–电流拟合与残差
$R_1$ 逐点比值均值：内接法 $18.96446135\,\Omega$，外接法 $9.126030477\,\Omega$。外接法结果约为 $9.13\,\Omega$。内接法较大的差异符合小电阻易受电流表内阻影响的趋势，但实际内阻与电压表分流未校准，不能把两测量值之差直接当成精确的 $R_A$。
$R_2$ 逐点比值均值：内接法 $12976.19048\,\Omega$，外接法 $13261.90476\,\Omega$。两个结果并不完全相等。由于低电流读数以 $0.001\,\mathrm{mA}$ 为步进，首个记录只有一个步进，逐点比值对量化十分敏感。均值与不同拟合估计的差异应结合完整记录评估，不能只给出一个无不确定度的精确阻值。
3. 二极管正向特性¶
图 6 二极管正向电流–电压记录（最高电压点量程待核）
在 $0.40$–$0.60\,\mathrm{V}$ 区间，电流从 $0.0032\,\mathrm{mA}$ 增大至 $0.9173\,\mathrm{mA}$，约增大 $286.65625$ 倍。半对数拟合斜率为 $28.28879045\,\mathrm{V}^{-1}$。
图 7 二极管 $0.40$–$0.60\,\mathrm{V}$ 区间的半对数拟合及残差
八、实验结果与讨论¶
- $R_1$ 外接法均值约 $9.13\,\Omega$，内接法均值约 $18.96\,\Omega$，接法影响明显。若电压表内阻远大于 $R_1$，外接法有较小的加载误差。
- $R_2$ 为千欧量级，内接法电流表加载通常较弱；但仪表内阻、精度等级及重复测量缺失，不能宣称两接法在已知实验精度内完全一致。其低电流读数的分辨率影响需特别关注。
- 两个电阻的记录总体呈线性关系；拟合和残差用于展示偏离程度，不预设观测曲线必须严格经过原点。
- 二极管正向电流随电压迅速、非线性增长，显示非线性特征。本次未测反向特性，结论限于正向区间；最高点量程冲突需复核。
- 误差来源包括仪表加载、读数分辨率、偶然误差、接触电阻和温度变化。缺少仪表精度等级及重复记录，未编造完整合成不确定度，也未宣称已完全消除系统误差。