用稳恒电场模拟静电场¶
淮南师范学院实验报告
学院：电子工程学院 专业：物理学 班级：24 物理 1 班
姓名：缪雨轩 学号：2414050120 实验日期：2025 年 9 月 24 日
一、实验名称¶
用稳恒电场模拟静电场。
二、实验目的¶
- 理解静电场电位、等位线与电场线的关系。
- 掌握稳恒电流场模拟静电场的条件和方法。
- 在同轴圆柱电极模型下描绘等位线及电场线，用线性化关系比较理论与记录。
三、实验原理¶
1. 直接测量与模拟思想¶
静电场中缺少供磁电式仪表直接检测的稳恒电流，探针也可能因感应电荷扰动场。模拟法选择便于实现、测量的稳恒电流场，要求对应物理量满足相同形式的方程和边界条件。
2. 场方程和模拟条件¶
无自由电荷的均匀介质静电场满足
$$ \mathbf E=-\nabla\varphi,\qquad\nabla\cdot\mathbf E=0,\qquad\nabla\times\mathbf E=0. $$
稳恒电流满足 $\nabla\cdot\mathbf J=0$，各向同性欧姆介质满足 $\mathbf J=\sigma\mathbf E$。当电导率 $\sigma$ 均匀时，电位也满足拉普拉斯方程
$$ \nabla^2\varphi=0. $$
此时电流密度方向对应静电场方向；$\mathbf J$ 无旋的结论依赖上述均匀标量电导率条件。模拟真空或空气中的静电场时，导电介质应均匀，电极应保持等电位，并与被模拟边界具有对应几何形状。
3. 同轴圆柱电极¶
内半径 $a$、外半径 $b$，内电极电压 $U_0$，外电极为零。忽略边缘效应，在 $a\leq r\leq b$ 有
$$ \varphi(r)=U_0\frac{\ln(b/r)}{\ln(b/a)},\qquad E_r(r)=\frac{U_0}{r\ln(b/a)}. $$
因此
$$ \ln\left(\frac r{1\,\mathrm{cm}}\right)=\ln\left(\frac b{1\,\mathrm{cm}}\right)-\ln\left(\frac ba\right)\frac{\varphi}{U_0}. $$
等位线为同心圆，电场线沿径向并垂直等位线；同样电位间隔对应的空间间隔在外侧较大。
图 1 按记录边界参数计算的理想等位线和径向场线（模型图）
四、主要仪器设备¶
静电场描绘仪、同步探针、游标卡尺、坐标纸及导线。
五、实验步骤¶
- 连接电路并检查接线后接通电源。
- 在不同位置测量内电极直径、外电极半径，按步骤计划各重复六次。
- 固定坐标纸，使上下探针保持铅垂对齐，以内电极中心定位。
- 将内外电极电压调整至 $10\,\mathrm{V}$。
- 沿八条等角度辐射线定位 $1$–$8\,\mathrm{V}$ 等位点并打孔。
- 描绘等位线和径向场线，测量对应半径，比较对数半径与归一化电压。
六、原始数据记录¶
现有记录提供描点示意和后续汇总半径，未提供八方向逐点坐标及六次电极尺寸原始读数。可计算的数值汇总在下一节保留；不把汇总半径当成六次独立测量，亦不据此估计重复性。
七、数据处理¶
1. 汇总记录与单位¶
内电极半径 $a=1.05\,\mathrm{cm}$，外电极半径 $b=6.94\,\mathrm{cm}$，内外电压差 $U_0=10\,\mathrm{V}$。源表对数列与带单位半径分别保留。
表 1 电压、半径及已有处理列汇总
| $U/\mathrm{V}$ | $U/U_0$ | 源表对数列 | $r/\mathrm{cm}$ | $D/\mathrm{mm}$ |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.1 | 1.748 | 5.74 | 114.9 |
| 2 | 0.2 | 1.56 | 4.75 | 95.1 |
| 3 | 0.3 | 1.371 | 3.94 | 78.8 |
| 4 | 0.4 | 1.182 | 3.27 | 65.4 |
| 5 | 0.5 | 0.993 | 2.7 | 54 |
| 6 | 0.6 | 0.804 | 2.23 | 44.6 |
| 7 | 0.7 | 0.615 | 1.85 | 37 |
| 8 | 0.8 | 0.427 | 1.54 | 30.8 |
| 10 | 1 | 0.049 | 1.05 | 21 |
| 0 | 0 | 1.937 | 6.94 | 138.8 |
半径与直径列的修约并非完全一致。以下统一以 $r/\mathrm{cm}$ 列重算，不利用直径列增加虚假的精度。
2. 理论电压与线性化¶
用八个内点拟合 $y=mx+c$，其中 $x=U/U_0$、$y=\ln[r/(1\,\mathrm{cm})]$；内外两个边界只定义理论曲线，不加入该拟合。
表 2 对数半径重算及理论电压比较
| $U/\mathrm{V}$ | $r/\mathrm{cm}$ | $\ln[r/(1\,\mathrm{cm})]$ | $U_{\mathrm{th}}/\mathrm{V}$ | 理论−记录 / V |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 5.74 | 1.747459 | 1.00525 | 0.00525 |
| 2 | 4.75 | 1.558145 | 2.007704 | 0.007704 |
| 3 | 3.94 | 1.371181 | 2.99771 | -0.00229 |
| 4 | 3.27 | 1.18479 | 3.984682 | -0.015318 |
| 5 | 2.7 | 0.993252 | 4.99891 | -0.00109 |
| 6 | 2.23 | 0.802002 | 6.011613 | 0.011613 |
| 7 | 1.85 | 0.615186 | 7.000837 | 0.000837 |
| 8 | 1.54 | 0.431782 | 7.971989 | -0.028011 |
| 10 | 1.05 | 0.04879 | 10 | 0 |
| 0 | 6.94 | 1.937302 | 0 | 0 |
表 3 八内点线性化参数及理论比较
| 指标 | 数值 |
|---|---|
| 内点线性化斜率 | -1.883763 |
| 内点线性化截距 | 1.935668 |
| 线性化决定系数 | 0.999978 |
| 同轴理论斜率 | -1.888512 |
| 同轴理论截距 | 1.937302 |
| 八内点最大电压差绝对值 | 0.028011 |
| 八内点电压均方根差 | 0.012491 |
图 2 八个内点的对数半径线性拟合及残差
图 3 同轴理论电压与汇总电压之差
3. 电场分布¶
图 4 记录边界参数对应的理想径向电位
图 5 记录边界参数对应的理想径向电场强度
电场计算时半径从厘米换算为米。内、外边界的理想电场分别为 $504.3024079\,\mathrm{V/m}$ 和 $76.29935566\,\mathrm{V/m}$。
八、实验结果与讨论¶
- 汇总记录中电位增大时半径减小，对数半径与归一化电压近似线性。八内点斜率 $-1.883762866$ 与同轴理论斜率 $-1.88851161$ 可直接比较，最大理论电压差绝对值为 $0.02801110757\,\mathrm{V}$。
- 该比较说明汇总数值与同轴模型近似相容；由于缺少逐方向原始读数及数据处理过程，不能把近线性关系视作独立高精度验证，也不据决定系数代替测量不确定度。
- 测量应保持电极电压恒定、上下探针铅垂对齐、记录纸平整且固定，避免电压变化和定位偏移造成图形失真。
- 可能偏差包括介质不均匀、电极偏心、接触及探针扰动、有限边界与半径读数分辨率。未提供仪器限差和重复数据，未给出完整不确定度。