惯性秤的应用¶

实验名称¶

惯性秤的应用

实验目的¶

1. 了解惯性秤的结构和工作原理，掌握利用振动周期测量惯性质量的方法。

2. 验证惯性秤周期平方 $T^{2}$ 与附加质量 $m$ 的线性关系。

3. 利用标准质量片建立定标直线，测量圆柱体的惯性质量，并计算相对误差。

实验原理¶

惯性秤由载物台和两片平行弹性悬臂组成。载物台沿水平方向作小振幅振动时，可近似视为简谐振动。若载物台上附加质量为 $m$，振动体空载时的等效质量为 $m_{0}$，悬臂振动体的等效劲度系数为 $\widetilde{k}$，则振动周期为

$$T=2\pi \sqrt{\frac{m+m_{0}}{\widetilde{k}}}\text{.}$$

两边平方，得到

$$T^{2}=\frac{4\pi ^{2}}{\widetilde{k}}m+\frac{4\pi ^{2}m_{0}}{\widetilde{k}}\text{.}$$

令

$$T^{2}=Am+B\text{,}$$

则

$$A=\frac{4\pi ^{2}}{\widetilde{k}},\quad\quad B=\frac{4\pi ^{2}m_{0}}{\widetilde{k}}\text{.}$$

因此，先用已知质量片测量周期并建立 $T^{2}-m$ 定标直线，再由待测圆柱体的周期即可反求其惯性质量。同时有

$$\widetilde{k}=\frac{4\pi ^{2}}{A},\quad\quad m_{0}=\frac{B}{A}\text{.}$$

主要仪器设备¶

惯性秤、DHTC-1A 通用计数器、光电门、8片标准质量片（每片 $25\:g$）、待测圆柱体。

实验步骤¶

1. 调节惯性秤底座，使载物台保持水平；连接光电门与通用计数器，将周期数设置为 $n=20$。

2. 依次加入 $25∼200\:g$ 的标准质量片。质量片按"先中间、后两边、尽量对称"的原则放置。

3. 每次待质量片放稳后，轻推载物台，使初始偏角不超过 $5^{\text{∘}}$；待计数器完成20个周期测量后，记录单周期 $T$。

4. 取下标准质量片，将圆柱体放在载物台中心，按相同方法测量其周期。

5. 计算各组 $T^{2}$，采用逐差法和最小二乘法处理定标数据，求圆柱体质量、相对误差、等效劲度系数和空载等效质量。

原始数据记录¶

实验条件：周期数 $n=20$；单片标准质量 $25\:g$；圆柱体标称质量 $190.5\:g$。

表 1　标准质量片与圆柱体的周期记录及派生量

次数	1	2	3	4	5	6	7	8	9
样品	标准质量片	标准质量片	标准质量片	标准质量片	标准质量片	标准质量片	标准质量片	标准质量片	圆柱体
质量 / g	25	50	75	100	125	150	175	200	190.5（标称，不定标）
周期 / s	0.372956	0.42954	0.477866	0.525413	0.573683	0.612982	0.652948	0.694534	0.681051
周期平方 / s²	0.13909618	0.18450461	0.22835591	0.27605882	0.32911218	0.37574693	0.42634109	0.48237748	0.46383046
隔四组平方差 / s²	0.19001601	0.19124232	0.19798518	0.20631866	—	—	—	—	—
隔四组质量差 / g	100	100	100	100	—	—	—	—	—

注：逐差量按 $\Delta T_{i}^{2}=T_{i+4}^{2}-T_{i}^{2}$、$\Delta m_{i}=m_{i+4}-m_{i}$ 计算；第9组的190.5 g为圆柱体标称质量，不参与定标拟合。

数据处理¶

（一）逐差法求斜率¶

仅前八组标准质量参与定标，取相隔四组的 $100\,\mathrm g$ 差得到平均斜率 $1.963905402\,\mathrm{s^2/kg}$。所有平方量从六位小数周期重新计算，未从已修约的平方表反算。

（二）最小二乘法拟合¶

以千克为质量单位，带截距拟合为 $T^2=Am+B$，$A=1.955894242\,\mathrm{s^2/kg}$、$B=0.085161049\,\mathrm{s^2}$，$R^2=0.99892763$。

图 1　前八组标准质量的周期平方定标及残差

（三）斜率不确定度¶

残差给出的斜率标准误为 $0.026162232\,\mathrm{s^2/kg}$。拟合中的斜率与截距相关，传播到质量时保留 $\operatorname{Cov}(A,B)=-\bar m\operatorname{Var}(A)$；未给标准质量和每组周期误差，不能作为完整定标不确定度。

（四）圆柱体惯性质量及相对误差¶

圆柱周期 $T_x=0.681051\,\mathrm s$，由 $m_x=(T_x^2-B)/A$ 得 $193.604239\,\mathrm g$。标称质量 $190.5\,\mathrm g$ 未作为真值加入定标，以其作比较的相对差为 $1.62952\%$。仅传播定标参数协方差的质量分量为 $1.328156\,\mathrm g$，不含待测周期、标称值或标准质量的不确定度。

（五）等效劲度系数与空载等效质量¶

$\widetilde k=4\pi^2/A=20.184331\,\mathrm{N/m}$，斜率残差传播分量为 $0.269988\,\mathrm{N/m}$。$m_0=B/A=43.540723\,\mathrm g$，保留参数协方差时定标分量为 $2.223410\,\mathrm g$。

逐组计算与结果核验¶

读取观测并逐组计算，再形成最终指标；修约只作用于显示。

实验结果与讨论¶

前八组标准质量的 $T^2-m$ 关系近似线性。圆柱反推惯性质量约 $193.60\,\mathrm g$，相对标称值差约 $1.63\%$。标称值未附校准不确定度，不能将其直接称为真值；同样不能以偏差较小单独证明准确度。

等效劲度系数约 $20.18\,\mathrm{N/m}$、空载等效质量约 $43.54\,\mathrm g$。周期数据随附加质量的变化支持简谐模型作为该范围的近似；没有空载独立测量，$m_0$ 是定标截距外推的等效参数。

质量片偏心放置、扭转振动、过大初始振幅、光电门触发、悬臂内耗、空气阻力和台面振动均会影响周期。应保持质量片居中对称、小振幅和相同触发条件，并补充每组重复周期和标准质量校准信息。