碰撞规律研究实验报告¶
淮南师范学院 电子工程学院 物理学专业 24物理1班
姓名：缪雨轩 学号：2414050120 实验日期：2025年11月13日
一、实验名称¶
碰撞规律的研究。
二、实验目的¶
利用气垫导轨研究一维完全弹性、完全非弹性及一般非弹性碰撞；检验动量与机械能变化规律，了解恢复系数的测定，掌握光电计时和误差分析。
三、实验原理¶
1. 动量与恢复系数¶
在碰撞过程中，若外力冲量可忽略，则两滑块满足
$$ m_1v_{10}+m_2v_{20}=m_1v_1+m_2v_2. $$
恢复系数定义为碰后分离速度与碰前接近速度之比：
$$ e=\left\vert \frac{v_2-v_1}{v_{10}-v_{20}}\right\vert . $$
理想完全弹性碰撞 $e=1$，动能守恒；理想完全非弹性碰撞 $e=0$，碰后共同运动。动能耗散与动量变化是不同概念：内部形变能耗散本身不破坏孤立系统总动量守恒。
2. 本次重撞轻模型¶
轻块碰前静止，即 $v_{20}=0$。完全粘合时，
$$ v_{\mathrm{c}}=\frac{m_1}{m_1+m_2}v_{10},\qquad \frac{E_{\mathrm{in}}-E_{\mathrm{out}}}{E_{\mathrm{in}}}=\frac{m_2}{m_1+m_2}. $$
理想弹性情况下，
$$ v_1=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{10},\qquad v_2=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_{10},\qquad K_{\mathrm{th}}=\frac{v_2}{v_1}=\frac{2m_1}{m_1-m_2}. $$
本次弹性组未记录 $v_{10}$，故仅能比较碰后速度比；该比较不能替代对动量、动能守恒和恢复系数的独立测量。
四、主要仪器设备¶
气垫导轨及气源、带挡光片的滑块、光电计时器、天平、弹射架或弹簧圈、尼龙搭扣或橡皮泥、游标卡尺。滑块质量含附件，$m_1=341.75\,\mathrm{g}$，$m_2=154.49\,\mathrm{g}$。
五、实验步骤¶
开启气源并调平导轨，使无碰撞滑块近似匀速运动，记录包含挡光片和碰撞附件的质量。将轻块静置于两光电门间，重块通过第一光电门后与之碰撞；粘合碰撞记录入射速度及共同速度，改变入射速度重复五次。弹性附件条件下记录碰后两滑块速度，其中滑块1有两次读数。
操作步骤还包括交换入射块进行轻撞重，但现有数据没有该组测量；本次分析限定为记录齐全的重撞轻情形。
六、原始数据记录¶
表 1 完全非弹性碰撞速度记录
| 序号 | $v_{10} / (\mathrm{cm\,s^{-1}})$ | $v_{\mathrm{c}} / (\mathrm{cm\,s^{-1}})$ |
|---|---|---|
| 1 | 71.02 | 48.31 |
| 2 | 90.33 | 59.7 |
| 3 | 86.21 | 57.27 |
| 4 | 100 | 65.57 |
| 5 | 92.51 | 62.19 |
表 2 弹性附件条件下的碰后速度记录
| 序号 | 滑块1速度第一次 / (cm s⁻¹) | 滑块2速度 / (cm s⁻¹) | 滑块1速度第二次 / (cm s⁻¹) |
|---|---|---|---|
| 1 | 28.02 | 98.17 | 28.64 |
| 2 | 18.76 | 63.01 | 20.21 |
| 3 | 33.42 | 97.09 | 30.6 |
| 4 | 25.03 | 88.18 | 25.9 |
| 5 | 26.5 | 92.68 | 27.02 |
速度统一按入射方向为正。弹性组滑块1两次读数沿用同组平均的处理方式；两次测量时刻及间隔未给出。
七、数据处理¶
1. 完全非弹性碰撞¶
系统总质量为 0.49624 $\mathrm{kg}$。将速度转换为 $\mathrm{m\,s^{-1}}$，计算
$$ p_{\mathrm{in}}=m_1v_{10},\qquad p_{\mathrm{out}}=(m_1+m_2)v_{\mathrm{c}},\qquad \eta=\frac{p_{\mathrm{in}}-p_{\mathrm{out}}}{p_{\mathrm{in}}}\times100\%. $$
$$ E_{\mathrm{in}}=\frac12m_1v_{10}^2,\qquad E_{\mathrm{out}}=\frac12(m_1+m_2)v_{\mathrm{c}}^2. $$
表 3 非弹性碰撞的动量与动能计算
| 序号 | 碰前动量 / (kg m s⁻¹) | 碰后动量 / (kg m s⁻¹) | 动量相对亏损 / % | 碰前动能 / J | 碰后动能 / J | 动能损失 / % |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.24271085 | 0.23973354 | 1.2266885 | 0.086186623 | 0.057907638 | 32.811339 |
| 2 | 0.30870277 | 0.29625528 | 4.0321941 | 0.13942561 | 0.088432201 | 36.573918 |
| 3 | 0.29462268 | 0.28419665 | 3.5387728 | 0.1269971 | 0.08137971 | 35.920027 |
| 4 | 0.34175 | 0.32538457 | 4.7887146 | 0.170875 | 0.10667733 | 37.56996 |
| 5 | 0.31615293 | 0.30861166 | 2.3853232 | 0.14623654 | 0.095962794 | 34.378373 |
五组动量相对亏损平均为 3.194338609 $\%$，最大为 4.788714557 $\%$；动能平均损失率为 35.45072333 $\%$。理想粘合模型的动能损失率为 31.13211349 $\%$。
图 1 五组非弹性碰撞的动量相对亏损
2. 弹性碰撞的速度比¶
取滑块1两次读数的平均，计算 $K_{\mathrm{exp}}=v_2/\bar v_1$，理论比值为 3.65000534。相对差异保留正负号：
$$ \delta=\frac{K_{\mathrm{exp}}-K_{\mathrm{th}}}{K_{\mathrm{th}}}\times100\%. $$
表 4 碰后速度比与条件恢复系数
| 序号 | 滑块1均速 / (cm s⁻¹) | 滑块2速度 / (cm s⁻¹) | 测得速度比 | 相对理论比值差异 / % | 条件恢复系数 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 28.33 | 98.17 | 3.4652312 | -5.0622977 | 0.96055061 |
| 2 | 19.485 | 63.01 | 3.2337696 | -11.403703 | 0.9073564 |
| 3 | 32.01 | 97.09 | 3.0331147 | -16.90109 | 0.85744313 |
| 4 | 25.465 | 88.18 | 3.4627921 | -5.1291233 | 0.96001268 |
| 5 | 26.76 | 92.68 | 3.4633782 | -5.1130655 | 0.96014198 |
平均实测速度比为 3.331657133，平均绝对相对差异为 8.721855926 $\%$。
图 2 各组碰后速度比
表4的恢复系数由额外假定动量守恒反推：
$$ v_{10}^{*}=\frac{m_1\bar v_1+m_2v_2}{m_1},\qquad e^{*}=\frac{v_2-\bar v_1}{v_{10}^{*}}. $$
它是模型条件量，不能再用来独立证明动量守恒。直接测定 $e$ 仍需补充碰前速度。
八、实验结果与讨论¶
完全非弹性组碰后动量均略低于碰前，平均差异 3.194338609 $\%$，动能有明显耗散。数据在量级上接近动量守恒预期，但缺少仪器不确定度和外力冲量评估，不能以任意5$\%$阈值宣布已在实验误差内验证。
弹性附件组的速度比低于理想 $e=1$ 的值，各组差异不等，不能统一概括为5$\%$以内。对一般恢复系数模型，
$$ v_1=\frac{m_1-em_2}{m_1+m_2}v_{10},\qquad v_2=\frac{(1+e)m_1}{m_1+m_2}v_{10}. $$
在本次质量比下，$e$ 减小会使速度比降低，与部分动能耗散的方向一致；测速偏置及两次速度读数不同时刻也可能影响比值，不能据此唯一确定恢复系数。
导轨残余摩擦、调平偏差和碰撞附近的外力作用可导致测速前后动量差异；弹簧及粘合附件的形变与内耗改变动能分配。改进应补测弹性组碰前速度、明确速度方向和时刻，检查光电门距离与测速片，并补充质量和计时器误差指标。