碰撞规律研究实验报告¶

淮南师范学院　电子工程学院　物理学专业　24物理1班
姓名：缪雨轩　学号：2414050120　实验日期：2025年11月13日

一、实验名称¶

碰撞规律的研究。

二、实验目的¶

利用气垫导轨研究一维完全弹性、完全非弹性及一般非弹性碰撞；检验动量与机械能变化规律，了解恢复系数的测定，掌握光电计时和误差分析。

三、实验原理¶

1. 动量与恢复系数¶

在碰撞过程中，若外力冲量可忽略，则两滑块满足

$$ m_1v_{10}+m_2v_{20}=m_1v_1+m_2v_2. $$

恢复系数定义为碰后分离速度与碰前接近速度之比：

$$ e=\left\vert \frac{v_2-v_1}{v_{10}-v_{20}}\right\vert . $$

理想完全弹性碰撞 $e=1$，动能守恒；理想完全非弹性碰撞 $e=0$，碰后共同运动。动能耗散与动量变化是不同概念：内部形变能耗散本身不破坏孤立系统总动量守恒。

2. 本次重撞轻模型¶

轻块碰前静止，即 $v_{20}=0$。完全粘合时，

$$ v_{\mathrm{c}}=\frac{m_1}{m_1+m_2}v_{10},\qquad \frac{E_{\mathrm{in}}-E_{\mathrm{out}}}{E_{\mathrm{in}}}=\frac{m_2}{m_1+m_2}. $$

理想弹性情况下，

$$ v_1=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{10},\qquad v_2=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_{10},\qquad K_{\mathrm{th}}=\frac{v_2}{v_1}=\frac{2m_1}{m_1-m_2}. $$

本次弹性组未记录 $v_{10}$，故仅能比较碰后速度比；该比较不能替代对动量、动能守恒和恢复系数的独立测量。

四、主要仪器设备¶

气垫导轨及气源、带挡光片的滑块、光电计时器、天平、弹射架或弹簧圈、尼龙搭扣或橡皮泥、游标卡尺。滑块质量含附件，$m_1=341.75\,\mathrm{g}$，$m_2=154.49\,\mathrm{g}$。

五、实验步骤¶

开启气源并调平导轨，使无碰撞滑块近似匀速运动，记录包含挡光片和碰撞附件的质量。将轻块静置于两光电门间，重块通过第一光电门后与之碰撞；粘合碰撞记录入射速度及共同速度，改变入射速度重复五次。弹性附件条件下记录碰后两滑块速度，其中滑块1有两次读数。

操作步骤还包括交换入射块进行轻撞重，但现有数据没有该组测量；本次分析限定为记录齐全的重撞轻情形。

六、原始数据记录¶

表 1　完全非弹性碰撞速度记录

序号	$v_{10} / (\mathrm{cm\,s^{-1}})$	$v_{\mathrm{c}} / (\mathrm{cm\,s^{-1}})$
1	71.02	48.31
2	90.33	59.7
3	86.21	57.27
4	100	65.57
5	92.51	62.19

表 2　弹性附件条件下的碰后速度记录

序号	滑块1速度第一次 / (cm s⁻¹)	滑块2速度 / (cm s⁻¹)	滑块1速度第二次 / (cm s⁻¹)
1	28.02	98.17	28.64
2	18.76	63.01	20.21
3	33.42	97.09	30.6
4	25.03	88.18	25.9
5	26.5	92.68	27.02

速度统一按入射方向为正。弹性组滑块1两次读数沿用同组平均的处理方式；两次测量时刻及间隔未给出。

七、数据处理¶

1. 完全非弹性碰撞¶

系统总质量为 0.49624 $\mathrm{kg}$。将速度转换为 $\mathrm{m\,s^{-1}}$，计算

$$ p_{\mathrm{in}}=m_1v_{10},\qquad p_{\mathrm{out}}=(m_1+m_2)v_{\mathrm{c}},\qquad \eta=\frac{p_{\mathrm{in}}-p_{\mathrm{out}}}{p_{\mathrm{in}}}\times100\%. $$

$$ E_{\mathrm{in}}=\frac12m_1v_{10}^2,\qquad E_{\mathrm{out}}=\frac12(m_1+m_2)v_{\mathrm{c}}^2. $$

表 3　非弹性碰撞的动量与动能计算

序号	碰前动量 / (kg m s⁻¹)	碰后动量 / (kg m s⁻¹)	动量相对亏损 / %	碰前动能 / J	碰后动能 / J	动能损失 / %
1	0.24271085	0.23973354	1.2266885	0.086186623	0.057907638	32.811339
2	0.30870277	0.29625528	4.0321941	0.13942561	0.088432201	36.573918
3	0.29462268	0.28419665	3.5387728	0.1269971	0.08137971	35.920027
4	0.34175	0.32538457	4.7887146	0.170875	0.10667733	37.56996
5	0.31615293	0.30861166	2.3853232	0.14623654	0.095962794	34.378373

五组动量相对亏损平均为 3.194338609 $\%$，最大为 4.788714557 $\%$；动能平均损失率为 35.45072333 $\%$。理想粘合模型的动能损失率为 31.13211349 $\%$。

图 1　五组非弹性碰撞的动量相对亏损

2. 弹性碰撞的速度比¶

取滑块1两次读数的平均，计算 $K_{\mathrm{exp}}=v_2/\bar v_1$，理论比值为 3.65000534。相对差异保留正负号：

$$ \delta=\frac{K_{\mathrm{exp}}-K_{\mathrm{th}}}{K_{\mathrm{th}}}\times100\%. $$

表 4　碰后速度比与条件恢复系数

序号	滑块1均速 / (cm s⁻¹)	滑块2速度 / (cm s⁻¹)	测得速度比	相对理论比值差异 / %	条件恢复系数
1	28.33	98.17	3.4652312	-5.0622977	0.96055061
2	19.485	63.01	3.2337696	-11.403703	0.9073564
3	32.01	97.09	3.0331147	-16.90109	0.85744313
4	25.465	88.18	3.4627921	-5.1291233	0.96001268
5	26.76	92.68	3.4633782	-5.1130655	0.96014198

平均实测速度比为 3.331657133，平均绝对相对差异为 8.721855926 $\%$。

图 2　各组碰后速度比

表4的恢复系数由额外假定动量守恒反推：

$$ v_{10}^{*}=\frac{m_1\bar v_1+m_2v_2}{m_1},\qquad e^{*}=\frac{v_2-\bar v_1}{v_{10}^{*}}. $$

它是模型条件量，不能再用来独立证明动量守恒。直接测定 $e$ 仍需补充碰前速度。

动量和动能结果¶

使用SI 单位计算碰前后动量和动能，分别检验两种守恒条件，不以内部耗散解释动量亏损。

表 5　动量与动能的程序核算

八、实验结果与讨论¶

完全非弹性组碰后动量均略低于碰前，平均差异 3.194338609 $\%$，动能有明显耗散。数据在量级上接近动量守恒预期，但缺少仪器不确定度和外力冲量评估，不能以任意5$\%$阈值宣布已在实验误差内验证。

弹性附件组的速度比低于理想 $e=1$ 的值，各组差异不等，不能统一概括为5$\%$以内。对一般恢复系数模型，

$$ v_1=\frac{m_1-em_2}{m_1+m_2}v_{10},\qquad v_2=\frac{(1+e)m_1}{m_1+m_2}v_{10}. $$

在本次质量比下，$e$ 减小会使速度比降低，与部分动能耗散的方向一致；测速偏置及两次速度读数不同时刻也可能影响比值，不能据此唯一确定恢复系数。

导轨残余摩擦、调平偏差和碰撞附近的外力作用可导致测速前后动量差异；弹簧及粘合附件的形变与内耗改变动能分配。改进应补测弹性组碰前速度、明确速度方向和时刻，检查光电门距离与测速片，并补充质量和计时器误差指标。

一般恢复系数模型¶

质量固定341.75 $\mathrm{g}$和154.49 $\mathrm{g}$，入射速度选用第一非弹性组71.02 $\mathrm{cm\,s^{-1}}$，目标初始静止。扫描 $e$ 从0到1，步长0.01，默认1；这是统一碰撞模型，不将其当作弹性组缺失的实测初速度。

图 3　恢复系数改变时两滑块的碰后速度