弦振动：模型、参数与验证依据

物理模型

均匀柔软弦、恒定张力、小振幅横向运动，两端固定。忽略重力挠度、弯曲刚度、阻尼和驱动瞬态。

$$\partial_t^2y=(F/\mu)\partial_x^2y,\quad y(0,t)=y(L,t)=0.$$

$$y/A=\sin(n\pi x/L)\cos(2\pi f_nt),\quad f_n=\frac{n}{2L}\sqrt{F/\mu},\quad \lambda_n=2L/n.$$

固定 $f,\mu$ 时 $\lambda\propto F^{1/2}$；固定 $F,\mu$ 时 $\lambda\propto f^{-1}$。页面选择固有模态并计算其频率；自动扫描反求满足指定频率的弦长。归一化振幅仅用于展示模态形状。

参数与观测身份

表 1　教学输入及其身份

原观测与教学情景分别保存。原张力系列第7点 $L=63.30$ cm、$n=1$ 重新计算得到126.60 cm，与源报告派生166.60 cm冲突；保持原始读数，并提供只在回归时排除该点的敏感性开关。仪器误差限和线密度缺失，指数回归标准误差不代表完整测量不确定度。

适用条件与读数

模型满足固定端边界。两条标线由用户移动至相邻波节，按 $\lambda=2|x_2-x_1|$ 保存；选择非相邻波节会产生操作偏差，原始标线位置完整导出。理想模态和标线记录分别拟合；混合线密度、重力或固定条件不成立时拒绝回归。

张力须近似均匀，实际实验中滑轮摩擦、驱动端边界与弦的伸长会影响结果。页面不模拟受迫响应幅值，动画用物理时间放慢100倍呈现，纵向坐标为归一化位移。

独立验证

浏览器使用解析本征模态。Python以固定端二阶差分拉普拉斯矩阵求本征值，再由张力和线密度换算频率；32、64、128、256空间区间逐级加密，覆盖弦长、质量、线密度边界和第1、2、6模态，共108组。最细网格相对误差阈值 $2.3\times10^{-4}$，加密误差比须大于3.9。验证结果与模型、脚本哈希见 docs/simulation/string-vibration-reference.json。

Node测试另外检查固定端及内部波节、周期性、密度与模态缩放、波动方程差分残差、测标关系、两个幂律指数及不相容记录拒绝逻辑。

文献核读

[1] 程军，王玉杰，张永春，冯明春，方学锋，邵宇. 弦振动形成驻波的理论分析和实验研究. 大学物理实验，2025，38(3): 41–44. DOI: 10.14139/j.cnki.cn22-1228.2025.03.008。

已取得4页全文，公式及0.570 g/m参数已逐页视觉核验，并核读第41页理论分析式（1）—（4）和第42页§2.1。文献采用 $\rho$ 表示线密度、$T$ 表示张力，网页分别写 $\mu,F$；保持同一物理定义。第42页给出的0.570 g/m用于网页默认线密度，但网页采用自己的质量和弦长教学组合；文献的1 kgf、80 cm及实测共振数据不混入本项目观测。第43页§2.4另有0.570–2.993 g/m线密度研究；软件0.05–1.00 g/m域属于理想模型开放域，由边界数值验证支持，未冒称文献实际仪器范围。文献讨论的真实受迫共振与理想本征频率存在差异，本页展示本征模态。

全文 SHA-256：0898a2d79d6eb4eb976fcc6537cc79e19f209fe6aa2f8a3fa32ff79a9cbe5e3d。公开参考题录与证据定位见 string-vibration-references.json 和 string-vibration-references.bib。