牛顿环虚拟实验：模型、参数与验证依据
模型依据采用已取得并核读的李小芳等《基于Python的牛顿环仿真实验平台》[1]。全文第67–68页公式(1)–(5)给出半波损失、接触及非接触空气膜强度；本项目将其归一化并保留空气折射率 $n=1$ 的教学场景。
物理问题与测量过程
实验以读数显微镜测量牛顿环的左右位置，使用暗环直径平方与环级的含截距拟合，以及隔级差两种方法估计平凸透镜的曲率半径。网页提供独立教学场景与原报告观测对照。
原报告配置的波长为 $589.3\ \mathrm{nm}$。原始六组读数来自 experiments/course-04/newton-rings/data/rings.csv，级次为 5、10、15、20、25、30。网页从这些读数重新相减计算直径。原报告五组空气劈尖读数作为另一测量批次呈现，并计算细丝厚度。
模型与推导
单色光近法向入射到平凸透镜和平板间的空气膜，两束反射光等振幅；一次反射引入半波损失。忽略吸收、多次反射、像差、谱宽和接触形变。空气折射率取 1。球面近轴膜厚为
$$t(r)=t_0+\frac{r^2}{2R}.$$
反射强度采用
$$\frac{I(r)}{I_{\max}}=\frac{1-\cos[4\pi t(r)/\lambda]}{2}=\sin^2\!\left(\frac{2\pi t(r)}{\lambda}\right).$$
暗环满足 $2t=m\lambda$，因此
$$r_m^2=R\lambda(m-2t_0/\lambda),\qquad D_m^2=4R\lambda m-8Rt_0.$$
使用含截距模型 $D_m^2=am+b$，得到 $R=a/(4\lambda)$、$t_0=-b/(8R)$。不强制过原点。对于固定间隙，隔 $p$ 级之差消除截距：
$$R=\frac{D_{m+p}^2-D_m^2}{4p\lambda}.$$
中心间隙大于零时，中心未必为暗点，图像中从中心向外的可见环序号不一定就是方程中的 $m$。界面级数指方程干涉序号。第一级在 $t_0/\lambda=0.5$ 时收缩为中心点，不能作为有限直径暗环记录。
空气劈尖满足小角度线性膜厚，原报告采用 $N$ 个条纹间隔的长度 $l_N$ 计算细丝直径：
$$h=\frac{N\lambda L}{2l_N}.$$
源报告对“20条纹”的端点计数未另作记录，本项目沿用其公式及 $N=20$ 的间隔约定。
参数来源与开放范围
| 参数 | 默认值 | 范围 | 来源身份与解释 |
|---|---|---|---|
| 曲率半径 $R$ | 800 mm | 300–1500 mm | 独立教学设定；与原报告拟合值分开 |
| 波长 $\lambda$ | 589.3 nm | 400–700 nm | 默认沿用原报告；其他值为单色光模型扫描 |
| 中心间隙 $t_0/\lambda$ | 0 | 0–0.5 | 教学模型控制量，无实测间隙输入 |
| 测微镜中心坐标 | 25 mm | 界面固定 | 坐标原点约定，对直径与拟合半径无影响 |
| 测微线读数 | 25 mm | 20–30 mm，步长0.001 mm | 用户交互读数；步长为软件离散，不能当作真实仪器分度或不确定度 |
| 暗环级数 $m$ | 5 | 1–100整数 | 指定干涉序号，须确认暗环位于可视范围内 |
| 隔级差 $p$ | 10 | 1–99整数 | 默认沿用原报告 |
全域光场显示横纵各 $-5$ 至 $5\ \mathrm{mm}$；最远角点 $r^2=50\ \mathrm{mm}^2$，最小半径 $R=300\ \mathrm{mm}$。使用有理化形式求精确球面弓高
$$s=R-\sqrt{R^2-r^2}=\frac{r^2}{R+\sqrt{R^2-r^2}},$$
与近轴弓高 $s_0=r^2/(2R)$ 比较，最大相对膜厚偏差为 $1.3891\times10^{-4}$。这项是膜厚几何误差界限，不能直接等同于干涉强度相对误差。图像有限分辨率下，高级次条纹会收细，连续模型读数用于数值验证。
自动操作的范围额外要求 $20\le x_{\rm left}<x_{\rm right}\le30\ \mathrm{mm}$。当前中心25mm，因此可读暗环半径不大于5mm；模型函数允许的高阶暗环不自动等同为当前显微镜视场中可测读数。超视场自动记录被拒绝，提示降低级次或改变参数。
数据身份与分析
| 身份 | 含义 | 处理方式 |
|---|---|---|
original-report |
源 DOCX 中的显微镜和劈尖读数 | 独立数据表，使用原波长，重新计算 |
ideal-model |
连续模型暗环坐标的自动记录 | 保存完整参数，按当前同一条件单独拟合 |
manual-micrometer |
用户移动测微线取得的左右读数 | 保存参数与原始读数，单独拟合 |
| 教学参数 | 控制理想装置的设定值 | 不冒充原报告观测或独立校准值 |
同一级重复记录保留在记录表中；拟合及隔级差要求每级唯一，界面提示读者移除重复级次，避免隐式选点。更改参数后历史记录仍可导出，但不会混入当前条件拟合。
原数据拟合半径 $806.4915759618\ \mathrm{mm}$，隔10级差四组均值 $805.2032071950\ \mathrm{mm}$。隔级差共享部分观测，不能直接视为独立重复量。拟合标准误差只来自残差，未记录仪器、校准与波长误差，不能据此给出完整标准不确定度。
独立验证与可复现性
运行：
node --test tests/newton-rings-model.test.mjs
python scripts/validate_newton_rings_simulation.py --repo-root . --output-root .
Node 测试覆盖边界、暗中心与亮中心、暗环与亮环条件、灰度对称性、坐标平移不变性、记录身份、截距与间隙反演、隔级差、重复级次、非法斜率及劈尖已知算例。
独立 Python 采用 SciPy 有界极小化求反射光强的相位极小，再转换为空间坐标，与浏览器解析暗环半径对照；以 SciPy linregress 对原始左右读数的直径平方拟合。计算覆盖 3 个曲率半径、3 个波长、4 个间隙的 36 组参数，共252条暗环。
验证输出包括模型和源数据 SHA-256、运行环境、独立方法、逐项容差及最大误差。初次运行的最大暗环坐标误差 $8.89\times10^{-16}\ \mathrm{mm}$，模型回归半径误差 $1.14\times10^{-12}\ \mathrm{mm}$，隔级差半径误差 $5.46\times10^{-12}\ \mathrm{mm}$。
图场采用2001×2001采样、单轴步长0.005 mm。最小 $R\lambda$ 条件下，单轴最大相位变化为2.618 rad，小于Nyquist上限 $\pi$；显示缩放不增加模型信息，精确暗环位置仍取连续模型。
文献与采用位置
[1] 李小芳，张宇涵，郭宇翔，刘锡籼. 基于Python的牛顿环仿真实验平台. 大学物理实验，2026，39(4)：67–72，77. DOI:10.14139/j.cnki.cn22-1228.2026.04.011。
| 正文定位 | 内容 | 本项目采用方式 |
|---|---|---|
| 第67页，第1节，公式(1)–(3) | 接触空气膜的半波损失、相位与强度 | 令n=1、以最大强度归一化 |
| 第68页，公式(4)–(5) | 间隙h带来的附加光程与非接触干涉 | 本文用 $t_0$ 对应原文h，保留连续间隙控制 |
| 第69页，第2.2.3节 | 交互读数、CSV数据保存及曲率半径教学范围 | 用于操作与记录流程设计；原文0.8–2m是其软件教学域 |
| 第72页 | 波长589.3nm、空气折射率默认1 | 与本项目原报告配置共同核对 |
本文 $D_m^2$ 含截距关系及隔级差关系由已核读的强度零点条件直接代数推导，并经SciPy验证；等权最小二乘是明确声明的数据分析方法。软件R=300–1500mm探索域由几何近轴误差独立检验支撑，不将原论文教学范围移作普遍有效性界限。
原文PDF SHA-256：9eaa1729a94a6e90c6126d2e1a0fc973133eed78bd806cbef9b549fc697331cb。原文存本地学术归档，公开书目与定位见参考资料JSON及BibTeX。